第2章 1.1 椭圆及其标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

[基础达标练] 1．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是(　　 ) A．椭圆　　　　　 B．线段 C．圆 D．以上都不对 解析：B　[∵|MF1|＋|MF2|＝4＝|F1F2|， ∴M的轨迹是以F1，F2为端点的线段．] 2．若椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为(　　) A．4　　 B．2　　　 C．8　　　 D. 解析：A　[由＋＝1，知a＝5，根据椭圆的定义，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10， 所以|MF2|＝10－2＝8.又O为F1F2的中点，N为F1M的中点，所以ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF2|＝4.] 3．若椭圆 ＋ ＝1(m＞0)的一个焦点坐标为(1,0)，则m的值为(　　) A．5 B．3 C. D. 解析：D　[根据题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝1，则有4－m2＝1，解得m＝±，又m＞0，则m＝.] 4．(多选)下列m的取值，能够使方程 ＋ ＝1表示焦点在y轴上的椭圆的是(　　) A．m＝－2 B．m＝0 C．m＝－3 D．m＝ 解析：ACD　[若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则解得m<－1或1<m<.] 5．(多选)已知P是椭圆＋y2＝1上一点，F1，F2是其两个焦点，则∠F1PF2的大小可能为(　　) A. B. C. D. 解析：BCD　[设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m>0，n>0，且m＋n＝2a＝4，在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝＝－1， 因为mn≤()2＝4， 所以cos∠F1PF2≥－，当且仅当m＝n时取等号，故∠F1PF2的最大值为， 所以∠F1PF2的大小可能为，，.] 6．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，若线段PF1的中点M在y轴上，则点M的纵坐标为　________　. 解析：∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点，∴OM为△PF1F2的中位线，∴PF2⊥x轴， ∴点P的横坐标是3或－3，∵点P在椭圆上， ∴＋＝1，即y2＝，∴y＝±. ∴点M的纵坐标为±. 答案：± 7．设F1是椭圆＋＝1的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为(－1,4)，则|PQ|＋|PF1|的最大值为　______　. 解析：由题意可得a＝3，b＝，c＝＝＝2，所以F1(－2,0)，F2(2,0)， 因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所以|PF1|＋|PQ|＝6－|PF2|＋|PQ|≤6＋|QF2|； 因为|QF2|＝＝5， 所以|PF1|＋|PQ|≤11. 答案：11 8．已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标． 解： (1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)， 则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0， 故b2＝1或b2＝－(舍)，a2＝5，故椭圆M的标准方程为＋y2＝1. (2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，得y0＝±. 又＋y＝1，所以x＝，x0＝±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为，，. [能力提升练] 9．我们把离心率为的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆C为“最美椭圆”，焦点在x轴上，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点F1和F2为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：D　[由已知e＝＝，得c＝a，故b＝＝a，∵S△PF1F2＝|F1F2||yP|＝×2c|yP|≤bc，即(S△PF1F2)max＝bc＝4，∴a×a＝4，得a2＝8，故b2＝a2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.] 10．(多选)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则(　　) A．椭圆的焦点在y轴上 B．△ABF1的周长为6 C．△AF1F2的周长为6 D．椭圆C的方程为＋＝1 解析：CD　[显然椭圆的焦点在x轴上，A错误．设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，设A(c，y1)，代入方程可得＋＝1.求得y＝.由于|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2－a－1＝0，a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1，△ABF1的周长为4a＝8，△AF1F2的周长为2a＋2c＝6.] 11．设P是椭圆＋＝1上一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F1PF2的最小值是　________　. 解析：由余弦定理，得cos∠F1PF2＝，① 又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，|F1F2|＝2， ∴①式可化为cos ∠F1PF2＝ ＝－1. ∵|PF1||PF2|≤2＝9. 当|PF1|＝|PF2|时，取等号，∴cos∠F1PF2≥－1＝－，∴cos∠F1PF2的最小值为－. 答案：－ 12．已知点A，B是圆F：2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程． 解：如图所示，由题意知， |PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2，∴|PA|＋|PF|＝2，且|PA|＋|PF|>|AF|， ∴动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆， ∴a＝1，c＝，b2＝. ∴动点P的轨迹方程为x2＋＝1，即x2＋y2＝1. [素养培优练] 13．(多选)已知P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos ∠F1PF2＝，则(　　) A．△PF1F2的周长为12 B．S△PF1F2＝2 C．点P到x轴的距离为 D.·＝2 解析：BCD　[由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2，故A选项错误；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2， 所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－|PF1|·|PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，故S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝×6×＝2，故B选项正确；设点P到x轴的距离为d， 则S△PF1F2＝|F1F2|·d＝×2d＝2，所以d＝，故C选项正确；·＝||·||cos∠F1PF2＝6×＝2，故D选项正确．] 14．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆E：＋＝1(10＞m＞0)是“黄金椭圆”，则m＝　___________　，若“黄金椭圆”C：＋＝1(a＞b＞0)两个焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)(c＞0)，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是△PF1F2的内心，连接PM并延长交F1F2于点N，则＝　___________　. 解析：由题，e＝＝＝，所以m＝5－5. 如图，连接MF1，MF2，设△PF1F2内切圆半径为r， 则|PF1|r＋|PF2|r＋|F1F2|r＝S△PF1F2， 即(2a＋2c)r＝S△PF1F2， |F1F2|r＝S△MF1F2＝·2c·r， 答案：5－5　 学科网（北京）股份有限公司 $$