第1章 2.3 直线与圆的位置关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

[基础达标练] 1．(多选)直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系可能是(　　) A．相交　　　　　 B．相切 C．相离 D．不能确定 解析：AB　[根据直线与圆位置关系的确定，有一个公共点时相切，有两个公共点时相交．] 2．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于(　　) A.或－ B．－或3 C．－3或 D．－3或3 解析：C　[圆的方程为(x－1)2＋y2＝3 ，圆心(1,0)到直线的距离等于半径⇒＝⇒|＋m|＝2⇒m＝或m＝－3.] 3．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0关于直线3x－ay－11＝0对称，则圆C中以为中点的弦长为(　　 ) A．1　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 解析：D　[依题意可知直线过圆心(1，－2)，即3＋2a－11＝0，a＝4. 故＝(1，－1)．圆方程配方得(x－1)2＋ (y＋2)2＝5，(1，－1)与圆心距离为1，故弦长为2＝4.] 4．已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a＝(　　) A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 解析：B　[圆心(－1,1)，r＝，设圆心到直线的距离为d，∴d＝＝＝，d＝＝，∴＝，∴a＝－4.] 5．(多选)若过点A(3,0)的直线l与圆(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率可能是(　　) A．－1 B．－ C. D. 解析：BC　[由题意知直线l的斜率必存在，设为k，则l的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，圆心C(1,0)．半径r＝1.直线与圆有公共点，需≤1，所以|2k|≤，得k2≤，所以－≤k≤，对照选项知B，C适合．] 6．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为　________　. 解析：最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d＝ ＝，所以最短弦长为 2＝2＝2.] 答案：2 7.若函数f(x)是定义域和值域均为[0,1]的单调递增函数，我们称曲线y＝f(x)为洛伦兹曲线，它在经济学上用来描述一个国家的家庭收入分布情况．如图，设曲线y＝f(x)与直线y＝x所围成的区域面积为A，曲线y＝f(x)与直线x＝1，x轴围成的区域面积为B，定义基尼系数G＝，基尼系数可以衡量一个国家家庭收入分布不平均的程度．若某个国家的洛伦兹曲线为y＝－＋1(0≤x≤1)，则该国家的基尼系数为(　　) A.－ B．1－ C.－ D.－1 解析：D　[由y＝－＋1(0≤x≤1)，可得x2＋(y－1)2＝1(0≤x≤1)， 所以洛伦兹曲线是圆心为(0,1)，半径为1的圆周，所以A＝π×12－×1×1＝π－， B＝1－π×12＝1－π，所以G＝＝＝π－1.] 8．已知两点O(0,0)，A(6,0)，圆C以线段OA为直径， (1)求圆C的方程； (2)若直线l1的方程为x－2y＋4＝0，直线l2平行于l1，且被圆C截得的弦MN的长是4，求直线l2的方程． 解：(1)依题意知：圆C的半径r＝＝3， 圆心坐标为(3,0)，故圆C的方程为(x－3)2＋y2＝9. (2)∵直线l2平行于l1，直线l1的方程为x－2y＋4＝0，∴设直线l2的方程为x－2y＋C＝0， 又∵ 弦长|MN|＝4，圆的半径为3，故圆心C到直线l2的距离d＝＝＝， ∴|3＋C|＝5，得C＝2或C＝－8， ∴直线l2的方程为x－2y＋2＝0或x－2y－8＝0. [能力提升练] 9．“点(a，b)在圆x2＋y2＝1内”是“直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相离”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[若点(a，b)在圆x2＋y2＝1内，则 a2＋b2<1， 则圆心O到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝>1， 则直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相离． 反之直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相离，则圆心O到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝>1，即a2＋b2<1，则点(a，b)在圆x2＋y2＝1内． 所以“点(a，b)在圆x2＋y2＝1内”是“直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相离”的充分必要条件．] 10．点P在直线2x＋y＋10＝0上，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点， O为坐标原点，则四边形PAOB面积的最小值为(　　) A．24 B．16 C．8 D．4 解析：C　[因为切线PA，PB的长度相等，所以四边形PAOB面积为△APO的面积的2倍．因为PA⊥AO, 所以要求四边形PAOB面积的最小值，应先求|PA|的最小值．当|OP|取最小值时，|PA|取最小值．|OP|的最小值为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离d＝＝2，因为圆x2＋y2＝4的圆心坐标为O(0，0)，半径为r＝2.进而可求切线PA的长度的最小值，最小值为＝4.可求四边形PAOB面积的最小值S＝2S△APO＝2××|PA|×|AO|＝4×2＝8.] 11．在平面直角坐标系xOy中，直线l：mx－y－2m－1＝0(m∈R)过定点　____________　，以点C(1,0)为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为　____________　. 解析：根据题意，直线l：mx－y－2m－1＝0， 即m(x－2)＝y＋1， 则由解得即直线l经过点(2，－1)． 设M(2，－1)，C(1,0)， 则|MC|＝＝，以点C(1,0)为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大的圆的半径r＝|MC|＝， 故半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2. 答案：(2，－1)　(x－1)2＋y2＝2 12．已知圆M过C(1，－1)，D(－1,1)两点，且圆心M在x＋y－2＝0上． (1)求圆M的方程； (2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值． 解：(1)设圆M的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝ r2(r>0)， 根据题意得⇒， 故所求圆M的方程为： (x－1)2＋(y－1)2＝4 (2)如图 四边形PAMB的面积为S＝S△PAM＋S△PBM 即S＝(|AM||PA|＋|BM||PB|) 又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|, 而|PA|＝，即S＝2. 因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，|PM|的最小值即为点M到直线3x＋4y＋8＝0的距离，所以|PM|min＝＝3，四边形PAMB面积的最小值为2＝2. [素养培优练] 13．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1　　 B.　　 C.　　 D. 解析：B　[由题可知，圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝5，故圆心B(2,0)，A(0，－2)，如图， 设切点为M，N，AB＝2，BM＝，故AM＝， sin∠MBA＝＝，cos∠MBA＝，sin α＝ sin(π－α)＝sin∠NBM＝sin 2∠MBA ＝2××＝.] 14.如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约　________　秒(精确到0.1). 解析：以点O为坐标原点，建立所示的平面直角坐标系，可设点P(－10，－10＋1.5t)，Q(10,10－t)， 可得出直线PQ的方程y－10＋t＝(x－10)， 圆O的方程为x2＋y2＝1，由直线PQ与圆O有公共点，可得≤1，化为3t2＋16t－128≤0，解得0≤t≤，而≈4.4，因此，点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒． 答案：4.4 学科网（北京）股份有限公司 $$