第1章 2.2 圆的一般方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

[基础达标练] 1．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F的值分别为(　　) A．4，－6,3　　　　　 B．－4,6,3 C．－4，－6,3 D．4，－6，－3 解析：D　[由题意得，－＝－2，－＝3，＝4，解得D＝4，E＝－6，F＝－3.] 2．已知圆C的圆心坐标为(2，－3)，且点(－1，－1)在圆上，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 B．x2＋y2－4x＋6y－8＝0 C．x2＋y2－4x－6y＝0 D．x2＋y2－4x＋6y＝0 解析：D　[易知圆C的半径为，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，展开得一般方程为x2＋y2－4x＋6y＝0.] 3．曲线x2＋y2＋2x－2y＝0关于(　　) A．直线x＝轴对称 B．直线y＝－x轴对称 C．点(－2，)中心对称 D．点(－，0)中心对称 解析：B　[原方程化为(x＋)2＋(y－)2＝4，表示以(－，)为圆心，半径长为2的圆．又圆过原点，故原点与圆心的连线方程为y＝－x，圆关于此直线轴对称，故应选B.] 4．当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则(　　) A．这些圆的圆心都在直线y＝x上 B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上 C．这些圆的圆心都在直线y＝x或y＝－x上 D．这些圆的圆心不在同一条直线上 解析：A　[由题意知圆心为(－a，－a)，则圆心都在直线y＝x上．] 5．当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m的取值是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：D　[圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－m)2＝m2－2m＋4，从而对于圆C的半径r有r2＝m2－2m＋4＝(m－1)2＋3≥3，所以m＝1时，r2取得最小值，从而圆C的面积πr2在m＝1时取得最小值．] 6．动圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心的轨迹方程为　____________　. 解析：设动圆圆心为(x，y)，由题意得 整理得x－2y－1＝0. 答案：x－2y－1＝0 7．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在前人的基础上写了一部划时代的著作《圆锥曲线论》，该书给出了当时数学家们所研究的六大轨迹问题，其中之一便是“到两个定点的距离之比等于不为1的常数的轨迹是圆”，简称“阿氏圆”．用解析几何方法解决“到两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为的动点M轨迹方程是：x2＋y2＋2x－3＝0”，则该“阿氏圆”的半径是　_____　. 解析：因为x2＋y2＋2x－3＝0，所以(x＋1)2＋y2＝4，所以半径为2. 答案：2 8．已知直线l在y轴上的截距为－2，且垂直于直线x－2y－1＝0. (1)求直线l的方程； (2)设直线l与两坐标轴分别交于A、B两点，△OAB内接于圆C，求圆C的一般方程． 解：(1)设直线l的方程为y＝kx－2. ∵直线x－2y－1＝0的斜率为，所以直线l的斜率k＝－2.则直线l的方程为y＝－2x－2. (2)设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．由于△OAB是直角三角形， 所以圆C的圆心C是线段AB的中点，半径为|AB|；由A(－1,0)，B(0，－2)得C，|AB|＝；故，解得D＝1，E＝2，F＝0.则圆C的一般方程为：x2＋y2＋x＋2y＝0. [能力提升练] 9．(多选)由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆的面积不能为(　　) A.π B.π C．π D．2π 解析：ACD　[所给圆的半径为r＝＝. 所以当m＝－1时，半径r取最大值，此时最大面积是π.] 10．若实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则的最大值是(　　) A.＋3 B．6＋14 C．－＋3 D．－6＋14 解析：A　[∵x2＋y2＋4x－2y－4＝0，∴(x＋2)2＋(y－1)2＝32表示以C(－2,1)为圆心，3为半径的圆．∵＝ ∴表示以圆C上的任意一点P(x，y)到O(0,0)两点间距离， ∴的最大值即为|CO|＋r ＝＋3＝＋3.] 11．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋2x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是　______　. 解析：方程a2x2＋(a＋2)y2＋2x＋8y＋5a＝0表示圆，所以a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2， 当a＝－1时，方程x2＋y2＋2x＋8y－5＝0，配方可得(x＋1)2＋(y＋4)2＝22，所得圆的圆心坐标为(－1，－4)；当a＝2时，方程4x2＋4y2＋2x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，此时2＋22－4×＝－＜0，方程不表示圆．综上所述，圆心坐标是(－1，－4)． 答案：(－1，－4) 12．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)． (1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值． 解：(1)∵点P(a，a＋1)在圆上， ∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0， ∴a＝4，P(4,5)， ∴|PQ|＝＝2， kPQ＝＝. (2)∵圆心C坐标为(2,7)， ∴|QC|＝＝4， 圆的半径是2，点Q在圆外， ∴|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2. [素养培优练] 13．(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，0)，点B是圆C：(x－2)2＋y2＝4上任一点，点P为AB的中点，若点M满足|MA|2＋|MO|2＝58，则线段PM的长度可能为(　　) A．2　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8 解析：BC　[设P(x，y)，点P为AB的中点，所以B(2x＋4,2y)，代入圆C：(x－2)2＋y2＝4，可得：(2x＋4－2)2＋(2y)2＝4，整理得：点P的轨迹方程为：(x＋1)2＋y2＝1. 设M(x，y)，则(x＋4)2＋y2＋x2＋y2＝58，∴(x＋2)2＋y2＝25，则易知当两圆心和PM共线时取得最大值和最小值即3≤|PM|≤7.] 14．圆C过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上． (1)求圆C的方程； (2)P为圆C上的任意一点，定点Q(8,0)，求线段PQ中点M的轨迹方程． 解：(1)方法一：直线AB的斜率k＝＝－1， 所以线段AB的垂直平分线m的斜率为1. 又线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x＝＝，y＝＝， 所以直线m的方程为y－＝x－， 即x－y－1＝0. 又圆心在直线l上，所以圆心是直线m与直线l的交点． 联立方程组解得 所以圆心坐标为C(3,2)．又半径r＝|CA|＝， 则所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝13. 方法二　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 由题意得解得 所以所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝13. (2)设线段PQ的中点M(x，y)，P(x0，y0)， 则解得将P(2x－8,2y)代入圆C中，得(2x－8－3)2＋(2y－2)2＝13，即线段PQ中点M的轨迹方程为2＋(y－1)2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$