第1章 2.1 圆的标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

[基础达标练] 1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5 解析：A　[(－2,0)关于原点P(0,0)对称的点为(2,0)．故圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.] 2．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是(　　) A．x－y－3＝0　　 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0 解析：A　[圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为M(1,0)．因为直线MP与AB垂直，所以kAB＝－＝－＝1.又因为直线AB过点P(2，－1)，所以直线AB方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.] 3．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C. D. 解析：D　[因为点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以(2a)2＋(a－1－1)2<5，整理得5a2－4a－1<0，解得－<a<1.] 4．方程y＝表示的曲线是(　　) A．一个圆 B．两条射线 C．半个圆 D．一条射线 解析：C　[由y＝两边平方可化为x2＋y2＝36(y≥0)，故表示圆x2＋y2＝36在x轴上方的半圆．] 5．(多选)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则(　　) A．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为 B．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为 C．圆C2的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4 D．圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4 解析：AD　[根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)， 圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4的圆心为(－1,1)，半径为2，所以圆心C1到直线x－y－1＝0的距离d＝＝. 若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与圆C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有解得则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.] 6．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为　________　. 解析：设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，所以(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，所以dmax＝74. 答案：74 7．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同心且过点P(－1,1)的圆的方程是　________　. 解析：圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心为(2，－3)，设圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2，由点P(－1,1)在圆上可知(－1－2)2＋(1＋3)2＝r2，解得r2＝25.故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25 8．若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，求当半径最小时圆的方程． 解：方法一：设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径r＝＝ ＝ . 当a＝时，rmin＝. 故所求圆的方程为2＋2＝. 方法二：易知圆的半径的最小值就是原点O到直线y＝－2x＋3的距离． 如图，此时r＝＝. 设圆心为(a，－2a＋3)， 则＝， 解得a＝，从而圆心坐标为. 故所求圆的方程为2＋2＝. [能力提升练] 9．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A．4　　 B．5　　　 C．6　　　 D．7 解析：A　[如图， 设圆心C(x，y)，则＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1， 所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆， 所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号．] 10．(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为(　　) A．x2＋(y－4)2＝20　　 B．(x－4)2＋y2＝20 C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x－2)2＋y2＝20 解析：AD　[令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以设直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0,4)．B(2,0)．|AB|＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的方程为：x2＋(y－4)2＝20.以B为圆心，过A点的圆的方程为：(x－2)2＋y2＝20.] 11．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则 的最大值为　________　. 解析：的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1,1)的距离，因此最大值为＋1. 答案：1＋ 12．已知点A(1,2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围： (1)点A在圆的内部； (2)点A在圆上； (3)点A在圆的外部． 解：(1)∵点A在圆的内部，∴(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，即2a＋5<0，解得a<－.故a的取值范围是. (2)将点A(1,2)坐标代入圆的方程，得(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，解得a＝－，故a的值为－. (3)∵点A在圆的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，即2a＋5>0，解得a>－. 故a的取值范围是. [素养培优练] 13．(多选)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为(　　) A．x2＋2 ＝ B．x2＋2 ＝ C．(x－ )2＋y2＝ D．(x＋ )2＋y2＝ 解析：AB　[由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心为(0，a), 半径为r，则r sin＝1，r cos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±.故圆C的方程为x2＋2＝.] 14．瑞士数学家欧拉(LeonhardEuler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是　________　. 解析：设C(x，y)，AB的垂直平分线为y＝－x，△ABC的外心为欧拉线方程为x－y＋2＝0 与直线y＝－x的交点为M(－1,1)，∴|MC|＝|MA|＝，∴(x＋1)2＋(y－1)2＝10，① 由A(－4,0)，B(0,4)，△ABC重心为(，)，代入欧拉线方程x－y＋2＝0，得x－y－2＝0，②，由①②可得x＝2，y＝0或x＝0，y＝－2. 答案：(2,0)或(0，－2) 学科网（北京）股份有限公司 $$