第1章 1.6 第2课时 点到直线的距离公式&第3课时 两条平行直线间的距离公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

[基础达标练] 1．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是(　　) A.　　 B.　　 C．2　　 D. 解析：C　[|OP|最小即OP⊥l，∴|OP|min＝＝2.] 2．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C．3 D．6 解析：C　[|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x＋4y－12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.] 3．若点A(a,1)到直线3x－4y＝1的距离d为1，则a的值为(　　 ) A．0 B. C．0或 D．0或－ 解析：C　[由d＝＝＝1，得a＝0或a＝.] 4．(多选)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程可以是(　　) A．2x＋3y－18＝0 B．2x－y－2＝0 C．3x－2y＋18＝0 D．2x－y＋2＝0 解析：AB　[设所求直线的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y－3k＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式可得＝，解得k＝2或k＝－，即所求直线方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.] 5．(多选)已知直线l1：2x＋y＋n＝0，l2：4x＋my－4＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，则mn可能的值为(　　) A．1 B. 2 C．－5 D．－10 解析：BD　[由l1∥l2可得2×m＝1×4，解得m＝2，则直线l2的方程为2x＋y－2＝0，由＝，即|n＋2|＝3，解得n＝1或n＝－5，故mn＝2或mn＝－10.] 6．点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为　________　. 解析：根据题意，得>3，解得a>7或a<－3. 答案：a>7或a<－3 7．直线l1，l2分别过点M(1,4)，N(－3,1)，它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是　_________　. 解析：根据题意画出图象，如图所示： 根据图象可得：当l1∥l2，且l1⊥MN，l2⊥MN时，l1与l2之间的距离为|MN|；当l1∥l2， 但是l1与MN不垂直，l2与MN不垂直时，过M点向l2引垂线，垂足为P，则l1与l2之间的距离为|MP|；因为|MN|>|MP|，所以． dmax＝|MN|＝＝5. 答案：5 8．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1，2)，求△ABC的面积S. 解：由直线方程的两点式得直线BC的方程为 ＝，即x－2y＋3＝0. 由两点间距离公式得 |BC|＝＝2， 点A到BC的距离为d，即为BC边上的高， d＝＝， 所以S＝|BC|·d＝×2×＝4， 即△ABC的面积为4. [能力提升练] 9．(多选)已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．y＝x D．y＝2x＋1 解析：BC　[A.点M(5,0)到直线y＝x＋1的距离为：d＝＝3＞4，故错误；B.点M(5,0)到直线y＝2的距离为：d＝3＜4，故正确；C.点M(5,0)到直线y＝x的距离为：d＝＝4，故正确；D.点M(5,0)到直线y＝2x＋1的距离为：d＝＝＞4，故错误．] 10．(多选)已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则点P的坐标为(　　) A．(1，－4) B．(－1,4) C. D. 解析：AD　[设点P的坐标为(a，b)． ∵A(4，－3)，B(2，－1)， ∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)， AB所在直线的斜率kAB＝＝－1， ∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0. ∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0.① 又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2， ∴＝2，即4a＋3b－2＝±10.② 由①②联立解得或∴所求点P的坐标为(1，－4)或.] 11．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是　________　. 解析：由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则|MP|为最小， 直线MP的方程为y－1＝－(x－2)， 解方程组得 ∴所求点的坐标为(5，－3)． 答案：(5，－3) 12．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1)．试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围． 解：由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)，则|PQ|＝，于是问题转化为|PQ|的最大、最小值．如图所示： 当P与A或B重合时， |PQ|取得最大值： ＝. 当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0. 则Q点到直线AB的距离 d＝＝＝， ∴≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13. [素养培优练] 13．点P(2,3)到直线：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为(　　) A．3，－3 B．5,2 C．5,1 D．7,1 解析：C　[∵直线ax＋(a－1)y＋3＝0，即a(x＋y)＋(3－y)＝0， ∴直线ax＋(a－1)y＋3＝0是过直线x＋y＝0和3－y＝0交点的直线系方程， 由，得，可得直线ax＋(a－1)y＋3＝0经过定点Q(－3,3)， ∴当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与PQ垂直时， 点P(2,3)到直线ax＋(a－1)y＋3＝0的距离最大，∴d的最大值为|PQ|＝＝5， 此时PQ∥x轴，可得直线ax＋(a－1)y＋3＝0斜率不存在，即a＝1.] 14．直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程． 解：若l1，l2的斜率存在，∵l1∥l2，∴设两直线的斜率为k.由斜截式得l1的方程y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.由点斜式得l2的方程y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0. 由两平行线间的距离公式得＝5， 解得k＝，∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0. 若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．则满足条件的直线方程有以下两组： l1∶12x－5y＋5＝0，l2∶12x－5y－60＝0；或l1∶x＝0，l2∶x＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $$