8 1.6 平面直角坐标系中的距离公式 第2课时 点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第2课时　点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式 学习目标 1.探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养.　2.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离，提升数学运算的核心素养. 任务一　点到直线的距离公式 问题1.如图，在平面直角坐标系中，有一点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)，如何求出点P到直线l的距离d呢？ 提示：点P到直线l的距离就是点P到直线l的垂线段的长，如图所示， 过点P作直线l的垂线为l'，垂足为Q，由l'⊥l可知l'的斜率为，所以l'的方程为y－y0＝(x－x0)，与l联立方程组，解得交点Q( ，)，所以｜PQ｜＝，即d＝. 问题2.向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，如图，怎样用向量方法求点P到直线l的距离呢？ 提示：设M(x1，y1)是直线l上任意一点，我们可以把线段PN的长理解成向量在直线l的法向量n＝(A，B)方向上的投影向量的长度. 所以d＝＝｜｜ ＝.　① 因为点M(x1，y1)在直线l：Ax＋By＋C＝0上，所以Ax1＋By1＋C＝0， 所以A(x1－x0)＋B(y1－y0)＝Ax1＋By1－(Ax0＋By0)＝－C－Ax0－By0，　② 将②代入①，我们就得到了点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝(其中A，B不全为0). 点到直线的距离公式 定义 点到直线的垂线段的长度 公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝(其中A，B不全为0) 微提醒(1)利用公式时直线的方程必须是一般式.(2)分子含有绝对值.(3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. (链教材P23例23)求下列点到直线的距离： (1)原点到y＝x＋3的距离； (2)(－1，2)到＋＝1的距离； (3)(3，6)到y＝1的距离. 解：(1)直线方程y＝x＋3可化为一般式x－y＋3＝0， 根据点到直线的距离公式，得d＝＝. (2)直线方程＋＝1可化为一般式4x＋3y－12＝0， 根据点到直线的距离公式，得d＝＝2. (3)法一：直线方程y＝1可化为一般式y－1＝0， 根据点到直线的距离公式，得d＝＝5. 法二：直接计算纵坐标的差，d＝｜6－1｜＝5. 点到直线的距离的求解方法 1.求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可. 2.若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可. 对点练1.(1)点P(0，1)到直线x－y－1＝0的距离等于(　　) A. B. C.1 D.2 (2)(多选题)若点P(3，a)到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：(1)B(2)AD 解析：(1)点P(0，1)到直线x－y－1＝0的距离等于＝.故选B. (2)由题意得＝＝1，解得a＝，或a＝－.故选AD. 学生用书⬇第26页 任务二　两条平行直线间的距离公式 问题3.已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示：因为两条平行直线间的距离就是夹在两条平行直线间的公垂线段的长，所以在直线l1上任取一点P(x1，y1)，如图所示，点P(x1，y1)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离. 问题4.已知两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不全为0，且C1≠C2)，如何求它们之间的距离？ 提示：在直线l1：Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x1，y1)，则有Ax1＋By1＋C1＝0，此时，两条平行直线l1，l2间的距离也就是点P(x1，y1)到直线l2的距离，根据点到直线的距离公式，得d＝＝＝. 两条平行直线间的距离公式 定义 夹在两条平行直线间的公垂线段的长 公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不全为0，且C1≠C2)之间的距离d＝ 微提醒(1)两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离.(2)运用两条平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同. (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为　　　　. (2)到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程为　　　　　　　　. 答案：(1)(2)3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0 解析：(1)由题意，得＝，所以m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，由两平行线间的距离公式，得＝＝. (2)设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，由两平行线间的距离公式得＝3，解得m＝16或m＝－14.故所求的直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0. [变式探究] (变条件)把本例(2)改为“直线l与直线3x－4y＋1＝0平行且点P(2，3)到直线l的距离为3”，求直线l的方程. 解：由直线l平行于直线3x－4y＋1＝0，可设l的方程为3x－4y＋c＝0， 又点P到l的距离为3，所以＝3， 解得c＝21或c＝－9，故所求直线方程为3x－4y＋21＝0或3x－4y－9＝0. 求两条平行直线间的距离的两种思路 1.利用化归思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算. 2.利用两条平行直线间的距离公式求解.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等. 对点练2.若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是 ，则m＋n＝(　　) A.0 B.1 C.－2 D.－1 答案：C 解析：因为l1∥l2，所以＝，解得n＝－4，即直线l2：x－2y－3＝0，所以两平行直线间的距离d＝＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2.故选C. 任务三　点到直线的距离公式的应用 (1)已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么｜OP｜的最小值为(　　) A. B.1 C. D.2 (2)当点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值是　　　　. 答案：(1)A(2)－1 解析：(1)｜OP｜的最小值为原点O到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝.故选A. (2)直线mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m(x－2).由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q(2，1)且斜率为m，结合图象(图略)可知当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，点到直线距离最大，此时m·＝－1，解得m＝－1. 1.点在直线上运动时，与直线外一点最小距离为垂线段长度；直线围绕点转动时，与直线外一点最大距离为两定点距离. 2.注意画图，数形结合在此类问题求解中至关重要. 学生用书⬇第27页 对点练3.(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求｜OP｜最小时点P的坐标； (2)求过点P(1，2)且与原点距离最大的直线方程. 解：(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1， 所以OP所在的直线方程为y＝x. 由 所以点P的坐标为(2，2). (2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，因为kOP＝2， 所以所求直线方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. 任务四　两条平行直线间的距离公式的应用 已知两平行直线l1，l2分别过A(1，0)，B(0，5). (1)l1，l2之间的距离为5，求两直线方程； (2)若l1，l2之间的距离为d，求d的取值范围. 解：(1)当l1，l2斜率不存在时，易知l1：x＝1，l2：x＝0，l1，l2之间的距离为1，不合题意. 当l1，l2斜率存在时，设斜率为k，则l1：y＝k(x－1)，l2：y－5＝kx， 化为一般式得l1：kx－y－k＝0，l2：kx－y＋5＝0. 由l1，l2之间的距离为5，可得＝5， 解得k＝0或k＝. 当k＝0时，l1：y＝0，l2：y＝5； 当k＝时，l1：5x－12y－5＝0，l2：5x－12y＋60＝0. 故两直线方程为l1：y＝0，l2：y＝5或l1：5x－12y－5＝0，l2：5x－12y＋60＝0. (2)如图所示，当l1，l2旋转到和AB垂直时，l1，l2之间的距离d最大为＝， 当l1，l2旋转到和AB重合时，距离为0. 又两平行直线l1，l2不重合，故d∈(0，]. 应用数形结合思想求最值 1.解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. 2.数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. 对点练4.两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的取值范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 解：(1)如图所示，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝｜AB｜＝＝3. 当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0， 所以0＜d≤3， 即所求的d的取值范围是(0，3]. (2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB， 它们的斜率k＝－＝－＝－3. 故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 任务 再现 1.点到直线的距离公式及应用.2.两条平行直线间的距离公式及应用 方法 提炼 公式法、解方程(组)法、坐标法、数形结合思想 易错 警示 运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相等；设直线方程时忽略斜率是否存在 1.(多选题)已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值可能为(　　) A.1 B.－1 C. D.－ 答案：CD 解析：由题意知＝1，即｜a｜＝，所以a＝±.故选CD. 2.两条直线y＝x，6x－4y＋13＝0之间的距离为(　　) A.13 B. C. D. 答案：C 解析：两条直线的方程分别为3x－2y＝0，3x－2y＋＝0，所以两条直线之间的距离d＝＝.故选C. 3.已知点M(1，2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则｜MP｜的最小值是(　　) A. B. C. D.3 答案：A 解析：点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为｜MP｜的最小值，所以｜MP｜的最小值为＝.故选A. 4.直线3x－4y－27＝0上到点P(2，1)距离最小的点的坐标是　　　　. 答案：(5，－3) 解析：由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则｜MP｜最小，直线MP的方程为y－1＝－(x－2)，解方程组所以所求点的坐标为(5，－3). 　 学科网（北京）股份有限公司 $