第1章 1.6 第1课时 两点间的距离公式（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦平面直角坐标系中两点间的距离公式这一核心知识点，通过生活情境（公路公交站点选址）引入，从与坐标轴平行的特殊情况到一般情况，借助勾股定理推导公式，再通过判断三角形形状、求参数值、求直线方程等例题构建“情境—推导—应用”的学习支架。 资料以生活实例培养数学眼光，引导学生发现现实中的距离问题，通过问题链（特殊到一般）发展数学思维，如用勾股定理推导公式时的逻辑推理，结合坐标法解决几何问题提升数学语言表达。分层练习（例题、跟踪训练、课时对点练）助力课中教学实施，课后可帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.6　平面直角坐标系中的距离公式 第1课时　两点间的距离公式 学习目标　1.掌握两点间的距离公式.2.会利用两点间的距离公式解决一些相关的问题. 导语 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 一、两点间的距离公式 问题　已知平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？ 提示　(1)当AB与x轴平行时， |AB|＝|x2－x1|； (2)当AB与y轴平行时，|AB|＝|y2－y1|； (3)当AB与坐标轴不平行时，如图，在Rt△ABC中，|AB|2＝|BC|2＋|AC|2， 所以|AB|＝. 知识梳理　 点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式|AB|＝. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关. (2)用向量知识分析，|AB|可以理解为向量的长度.也可以理解为向量分别在x轴和y轴上的投影数量的绝对值，分别为|AC|＝|x2－x1|，|CB|＝|y2－y1|.再由勾股定理求|AB|. 例1　(课本例22)　如图，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4). (1)试判断△ABC的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长. 解　(1)根据两点间的距离公式，得 |AB|＝， |BC|＝＝2， |CA|＝＝5. 因为()2+(2)2＝(5)2， 即|AB|2+|BC|2＝|CA|2， 所以△ABC是直角三角形. (2)因为BC的中点D的横坐标x＝＝2，纵坐标y＝＝－1， 所以BC边上中线的长|AD|＝＝2. 例1　(1)在数轴上有两点A，B，点A(－1)，|AB|＝6，那么AB的中点C的坐标为(　　) A.2 B.－4 C.3或－3 D.2或－4 答案　D 解析　设B(x1)，C(x0)， ∵|AB|＝|x1－(－1)|＝|x1＋1|＝6， ∴x1＝5或x1＝－7， 又C(x0)为AB的中点， ∴x0＝，∴x0＝2或－4. (2)已知△ABC的三个顶点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状. 解　方法一　∵|AB|＝＝2， |AC|＝＝2， 又|BC|＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形. 方法二　∵kAC＝， kAB＝＝－， ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝＝2， |AB|＝＝2， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形. 反思感悟　计算两点间的距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)， 则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解. 跟踪训练1　已知△OAB的顶点O(0，0)，A(2，4)，B(3，－6)，则OA边上的中线长为　　　　. 答案　2 解析　由中点坐标公式可得线段OA的中点C，则OA边上的中线长为＝2. 二、由两点间的距离求参数的值 例2　若点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为　　　　　　　　. 答案　(2，10)或(－10，10) 解析　由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.设点M的坐标为(xM，±10). 由两点间的距离公式， 得|MN|＝＝10或|MN|＝＝10， 解得xM＝－10或xM＝2， 所以点M的坐标为(2，10)或(－10，10). 延伸探究　将本例中“点M到x轴”改为“点M到y轴”，其他条件不变，求点M的坐标. 解　由点M到y轴的距离等于10可知，其横坐标为±10.设点M的坐标为(±10，yM)， 由两点间的距离公式得 |MN|＝＝10， 或|MN|＝＝10， 解得yM＝－6或10. 所以点M的坐标为(－10，－6)或(－10，10). 反思感悟　根据两点间的距离公式得到所求参数的方程，注意含有根号需要平方，方能求解. 跟踪训练2　已知A(a，3)，B(3，3a＋3)的距离为5，求a的值. 解　|AB|＝ ＝＝5， 即(a－3)2＋(3a)2＝25， 展开得a2－6a＋9＋9a2＝25， 即10a2－6a－16＝0， 即5a2－3a－8＝0， 解得a＝－1或a＝， 因此a的值为－1或. 三、由两点间的距离求直线方程 例3　已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l：y＝kx＋1上的两点，若|x2－x1|＝3，且|AB|＝6，求直线l的方程. 解　由题意可知y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1， ∴y1－y2＝k(x1－x2)， ∵|x2－x1|＝3，∴(x2－x1)2＝9， ∴(y2－y1)2＝k2(x1－x2)2＝9k2， ∵|AB|＝ ＝＝6， ∴k2＝3， 解得k＝±， 故直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1. 反思感悟　从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法可以优化解题过程.这些解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能.另外，灵活运用图形的几何性质，如对称、线段垂直平分线的性质等，同样是很重要的. 跟踪训练3　已知直线l过点P(3，1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程. 解　设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则两式相减， 得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5. ① 由已知及两点间的距离公式，得 (x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25. ② 由①②解得或 又点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线l上， 因此直线l的斜率为0或不存在.因为直线l过点P(3，1)，所以直线l的方程为y＝1或x＝3. 1.知识清单：两点间的距离公式. 2.方法归纳：待定系数法、坐标法. 3.常见误区：已知距离求参数问题易漏解. 1.已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于(　　) A.5 B. C. D.4 答案　A 解析　|MN|＝＝5. 2.直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则|PQ|等于(　　) A.4 B.4 C.2 D.2 答案　B 解析　∵P(1，1)，Q(5，5)， ∴|PQ|＝＝4. 3.到点A(1，3)，B(－5，1)的距离相等的动点P满足的方程是(　　) A.3x－y－8＝0 B.3x＋y＋4＝0 C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y＋2＝0 答案　B 解析　设P(x，y)，因为点P到A(1，3)，B(－5，1)的距离相等，则|PA|＝|PB| 即， 化简整理得3x＋y＋4＝0. 4.已知A(a，2)，B(－2，－3)，C(1，6)三点，且|AB|＝|AC|，则实数a的值为　　　　. 答案　－2 解析　由两点间的距离公式及|AB|＝|AC|可得，，解得a＝－2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.若A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则等于(　　) A. B. C.3 D.2 答案　D 解析　|AC|＝＝4，|CB|＝＝2，故＝2. 2.已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是(　　) A.2 B.3＋2 C.6＋3 D.6＋ 答案　C 解析　由两点间距离公式得 |AB|＝＝3， |BC|＝＝3， |CA|＝＝3. 故△ABC的周长为6＋3. 3.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　　) A.2 B.3 C. D. 答案　C 解析　由中点坐标公式可得，BC边的中点D. 由两点间的距离公式得 |AD|＝. 4.(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A.可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B.可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C.可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D.可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 答案　BCD 解析　 ＝ ＝， 可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故选项BCD正确. 5.已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　C 解析　∵A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)， ∴|AB|＝ ＝ ＝， ∴当a＝时，|AB|取得最小值. 6.已知点A(1，2)，B(－1，1)，C(0，－1)，D(2，0)，则四边形ABCD的形状为(　　) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.正方形 答案　D 解析　由两点间的距离公式可得， |AB|＝， |BC|＝， |CD|＝， |DA|＝， 所以|AB|＝|BC|＝|CD|＝|DA|. 又|AC|＝， |BD|＝， 所以|AC|＝|BD|， 故四边形ABCD是正方形. 7.(5分)过点A(a，4)和点B(b，2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直，则|AB|＝　　　　　. 答案　2 解析　因为过点A(a，4)和点B(b，2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直， 所以kAB＝＝1，即a－b＝2， 所以|AB|＝＝2. 8.(5分)在x轴上找一点Q，使点Q与A(5，12)间的距离为13，则点Q的坐标为　　　　　　　　　. 答案　(10，0)或(0，0) 解析　设Q(x0，0)，则有 13＝，得x0＝0或x0＝10， 即点Q的坐标为(10，0)或(0，0). 9.(10分)已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值. 解　由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中， 令y＝0，得x＝，则A； 令x＝0，得y＝，则B， 故AB的中点为， ∵线段AB的中点到原点的距离为， ∴， 解得a＝±2. 10.(10分)已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程. 解　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y＋1＝k(x－1)， 解方程组得 即B. 由|AB|＝＝5， 解得k＝－， 所以直线l的方程为y＋1＝－(x－1)， 即3x＋4y＋1＝0. 当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1. 此时，与l1的交点为(1，4)，也满足题意. 综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1. 11.(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是(　　) A.(－4，5) B.(－1，2) C.(－3，4) D.(4，5) 答案　BC 解析　设所求点的坐标为(x0，y0)， 则x0＋y0－1＝0，且， 两式联立解得或 12.(多选)已知点M(4，3)，过原点的直线l与直线y＝3交于点A，若|AM|＝2，则直线l的方程为(　　) A.x－2y＝0 B.2x－y＝0 C.3x－2y＝0 D.2x－3y＝0 答案　AC 解析　设点A的坐标为(t，3)， 由|AM|＝＝2， 解得t＝2或t＝6. 当t＝2时，点A的坐标为(2，3)， 则直线l的斜率为， 此时直线l的方程为y＝x，即3x－2y＝0； 当t＝6时，点A的坐标为(6，3)， 则直线l的斜率为， 此时直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0. 综上所述，直线l的方程为x－2y＝0或3x－2y＝0. 13.(5分)直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是　　　　. 答案　2 解析　因为l1：x－my－2＝0与l2：mx＋y＋2＝0的交点坐标为Q， 所以|OQ|＝ ＝， 当m＝0时，|OQ|max＝2， 所以|OQ|的最大值是2. 14.(5分)已知x，y为实数，代数式的最小值是　　　　. 答案　10 解析　设点P(x，0)，Q(0，y)，A(2，4)，B(－6，－2)， 则＋＋ ＝＝|BP|＋|PQ|＋|QA| ≥|AB|＝＝10， 当且仅当P，Q分别为AB连线与x，y轴的交点时，等号成立. 15.在平面直角坐标系内有四点A(－1，0)，B(2，1)，C(1，5)，D(－2，2)，P为该平面内的动点，则P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为(　　) A.10 B. C.14 D. 答案　D 解析　依题意可知，四点A(－1，0)，B(2，1)，C(1，5)，D(－2，2)构成一个四边形ABCD， 因为|PA|＋|PC|≥|AC|， 当且仅当P在对角线AC上时取得等号， 因为|PB|＋|PD|≥|BD|， 当且仅当P在对角线BD上时取得等号， 所以|PA|＋|PC|＋|PB|＋|PD|≥|AC|＋|BD| ＝ ＝， 当且仅当P为两条对角线的交点时取得等号. 故P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为. 16.(12分)已知AO是△ABC的边BC的中线，用坐标法证明|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2). 证明　取BC边所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设A(m，n)，B(－a，0)，C(a，0)(其中a>0)，O(0，0)， 则|AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋n2＋a2)， |AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2， 所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2). 学科网（北京）股份有限公司 $