精品解析：山东省菏泽市郓城县2024-2025学年下学期七年级 数学期末试题

2024——2025学年度第二学期期末教学质量检测 七年级数学试题 （满分120分，时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项A、B、C、D中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在答题卡的相应位置 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2023年9月23日晚，杭州亚运会主火炬在万众瞩目之中点燃，由超过1亿人参与数字火炬传递而汇聚成的“数字火炬手”高擎火炬，从钱塘江踏着浪花一步步来到“大莲花”上空，最终与火炬手汪顺一同点燃了杭州亚运会主火炬．其中数据1亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 小亮在放学回家的路上，看到同学小明在前方，便加快速度追赶小明，在距离学校60米处追上了小明，如图反映了这一过程，其中（单位：米）表示与学校的距离，（单位：秒）表示时间．根据相关信息，以下说法错误的是（ ）． A. 开始时小明与小亮之间的距离是30米 B. 15秒时小亮追上了小明 C. 小亮走了60米追上小明 D. 小亮追上小明时，小明走了60米 8. 如图，，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 在实验课上，小亮利用同一块木板，测得小车从不同高度h（cm）下滑的时间t（s），得到如下数据： 支撑物高h（cm） 10 20 30 40 50 … 下滑时间t（s） 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 … 以下结论错误的是（　　） A. 当h＝10时，t为3.25秒 B. 随支撑物高度增加，下滑时间越来越短 C. 估计当h＝80时，t一定小于2.56秒 D. 高度每增加10cm，下滑时间就会减少0.24秒 10. 如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交于点．以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后的结果填写在答题卡的相应区域内） 11. 北普陀山是锦州著名的景点之一，五一期间，某中学组织20名教师和名学生到北普陀山开展活动，已知成人票每张50元，学生票每张25元，若设门票的总费用为元，则与之间的关系式为______________． 12. 如图，点E，F在线段上(不与点A，C重合)，，若，则的长为_____________． 13. 如图，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点B是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为________． 14. 如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则________． 15. 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是______米． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答要写出必要的文字说明、演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 17. 已知：如图，点都在的边上，，且． （1）求证：； （2）若平分，=110°，求的度数． 18. 一个不透明的袋中装有若干个红球和白球，它们除颜色外其他均相同．已知袋中共有30个球，将袋中的球摇匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是． （1）求袋中共有多少个白球； （2）从袋中取走10个球（其中没有白球），并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是白球的概率． 19. 如图，点在线段上，，，．求证：． 20. 某数学兴趣小组用数学知识测一池塘两端之间的长度，他们所绘示意图如图所示，点B、F、C、E（其中点F、C为池塘的两端，之间的长度不能直接测量）在直线l上，点A，D在l的异侧，且，，测得． （1）求证：； （2）若，，求池塘两端F、C之间的长度． 21. 2024年6月2日，锦州迎来了一场体育盛宴——“跑遍辽宁”“奔赴山海前程‘是’锦”2024锦州马拉松赛．这场全民参与的体育盛宴在风景如画的滨河路淩川大桥下拉开帷幕．甲、乙两名选手均参加了健康跑项目（处折返），他们同时出发，两选手所跑的路程与时间之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： （1）求甲选手前的平均速度； （2）乙选手追上甲选手时，他们距离终点还有多少千米？ （3）若甲选手跑最后一段的平均速度与他前的平均速度相同，那么当乙选手到达终点时，甲选手还要经过多长时间到达终点？ 22. 如图，E，F分别是长方形的边上的点（不与端点重合），连接，将四边形沿EF折叠，点C，D的对应点分别为点，若，求的度数． 23. 【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用． 【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． （1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴　　　　，　　　　， ∴　　　　． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　　　　． 【拓展应用】 （3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025学年度第二学期期末教学质量检测 七年级数学试题 （满分120分，时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项A、B、C、D中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在答题卡的相应位置 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 2023年9月23日晚，杭州亚运会主火炬在万众瞩目之中点燃，由超过1亿人参与数字火炬传递而汇聚成的“数字火炬手”高擎火炬，从钱塘江踏着浪花一步步来到“大莲花”上空，最终与火炬手汪顺一同点燃了杭州亚运会主火炬．其中数据1亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：数据1亿用科学记数法表示为． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项错误，不符合题意； B.，故该选项错误，不符合题意； C.，故该选项错误，不符合题意； D.，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键． 4. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过两次反射后的光线与入射光线平行， ∴； 故选C． 5. 小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键．用绿灯时间除以红绿灯时间之和，即可得到答案． 【详解】解：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒， 遇到绿灯的概率是， 故选：C． 6. 如图，中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键． 7. 小亮在放学回家的路上，看到同学小明在前方，便加快速度追赶小明，在距离学校60米处追上了小明，如图反映了这一过程，其中（单位：米）表示与学校的距离，（单位：秒）表示时间．根据相关信息，以下说法错误的是（ ）． A. 开始时小明与小亮之间的距离是30米 B. 15秒时小亮追上了小明 C. 小亮走了60米追上小明 D. 小亮追上小明时，小明走了60米 【答案】D 【解析】 【分析】根据观察横坐标、纵坐标，可得答案． 【详解】解：A、由纵坐标看出，一开始时小明与小亮之间的距离是30米，故A不合题意； B、由横坐标看出，15秒时小亮追上了小明，故B不合题意； C、由纵坐标看出，小亮走了60米追上小明，故C不合题意； D、由纵坐标看出，小亮追上小明时，小明走了30米，故D符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了函数图象，观察横坐标、纵坐标是解题关键． 8. 如图，，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“全等三角形对应角相等，对应边相等”依次判断即可． 本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ， 故A选项正确； ∵中，， ， ， ∴， 故B选项正确； ∵中，， ， ， ， ， ∴， 故C选项正确； ∵， ， ， 故D选项错误． 故选：D 9. 在实验课上，小亮利用同一块木板，测得小车从不同高度h（cm）下滑的时间t（s），得到如下数据： 支撑物高h（cm） 10 20 30 40 50 … 下滑时间t（s） 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 … 以下结论错误的是（　　） A. 当h＝10时，t为3.25秒 B. 随支撑物高度增加，下滑时间越来越短 C. 估计当h＝80时，t一定小于2.56秒 D. 高度每增加10cm，下滑时间就会减少0.24秒 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格中数量的变化情况，分别进行判断即可． 【详解】解：由表格知：h＝10，t＝3.25． 故A结论正确． 由表格知：随着高度的增加，下滑时间越来越短． 故B，C结论正确． 当支撑物高度从10cm升高到20cm，下滑时间的减少0.24s， 从20cm升高到30cm时，下滑时间就减少0.2s， 从30cm升高到40cm时，下滑时间就减少0.15s， 从40cm升高到50cm时，下滑时间就减少0.1s， 因此，“高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒”的说法是错误的， 故选项D结论错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的概念，函数的定义：设x和y是两个变量，对于每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数．本题理解表格中两个变量之间的变化关系是正确判断的前提． 10. 如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交于点．以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质．根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项 A ；先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，由此即可判断选项D，C；先假设可得，再根据角的和差可得，从而可得，由此即可判断选项D． 【详解】解：由题意可知，垂直平分， ，则选项A正确； ， ， ， ， ， ， ， ∴，则选项 D正确； ∵， ∴，则选项C正确； 假设， ， 又 ∵， ∴与矛盾， 则假设不成立，选项B错误； 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后的结果填写在答题卡的相应区域内） 11. 北普陀山是锦州著名的景点之一，五一期间，某中学组织20名教师和名学生到北普陀山开展活动，已知成人票每张50元，学生票每张25元，若设门票的总费用为元，则与之间的关系式为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式．解题的关键是明确学生的票价加老师的票价等于总票价． 根据学生人数乘以学生票价，可得学生的总票价，根据师生的总票价，可得函数关系式． 【详解】解：依等量关系式“总费用老师费用学生费用”可得：． 故答案为：． 12. 如图，点E，F在线段上(不与点A，C重合)，，若，则的长为_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，再利用等量代换可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：3． 13. 如图，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点B是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用.设，根据题意可得，，然后利用完全平方公式即可求出，进而可得答案． 【详解】设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积为； 故答案为：4． 14. 如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【详解】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是______米． 【答案】1000 【解析】 【详解】 作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长．易得△A′CM≌△BDM，AC=BD，所以A′C=BD，则A′C /BD ="CM" /MD ， 所以CM=DM，M为CD的中点， 由于A到河岸CD的中点的距离为500米， 所以A′到M的距离为500米， A′B=1000米． 故最短距离是1000米． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答要写出必要的文字说明、演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，乘法公式是解题的关键： （1）根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘除法则进行计算即可； （2）利用乘法公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 ． 17. 已知：如图，点都在的边上，，且． （1）求证：； （2）若平分，=110°，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线、平行的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）首先根据“两直线平行，内错角相等”可得，结合易得，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证明结论； （2）首先根据角平分线的定义可得，在根据“两直线平行，同位角相等”证明，进一步求得的度数，易得，然后根据“两直线平行，内错角相等”，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平分， ， 由（1）得， ， ， ， ∵， ． 18. 一个不透明的袋中装有若干个红球和白球，它们除颜色外其他均相同．已知袋中共有30个球，将袋中的球摇匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是． （1）求袋中共有多少个白球； （2）从袋中取走10个球（其中没有白球），并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是白球的概率． 【答案】（1）12个 （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为且． （1）根据概率公式列方程求出球的总个数即可； （2）先求出剩余球的总数量，根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：设袋中共有x个红球， 因为袋中共有30个球，从中任意摸出一个球是红球的概率是， 所以解得． 因为（个）， 所以袋中共有12个白球． 【小问2详解】 从袋中取走10个球（其中没有白球），袋中还剩个球，袋中共有12个白球． 则从剩余的球中任意摸出一个球是白球的概率为． 19. 如图，点在线段上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后证明出，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】略 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定． 20. 某数学兴趣小组用数学知识测一池塘两端之间的长度，他们所绘示意图如图所示，点B、F、C、E（其中点F、C为池塘的两端，之间的长度不能直接测量）在直线l上，点A，D在l的异侧，且，，测得． （1）求证：； （2）若，，求池塘两端F、C之间的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由平行线的性质得到，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再结合已知条件即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 池塘两端F、C之间的长度是 21. 2024年6月2日，锦州迎来了一场体育盛宴——“跑遍辽宁”“奔赴山海前程‘是’锦”2024锦州马拉松赛．这场全民参与的体育盛宴在风景如画的滨河路淩川大桥下拉开帷幕．甲、乙两名选手均参加了健康跑项目（处折返），他们同时出发，两选手所跑的路程与时间之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： （1）求甲选手前的平均速度； （2）乙选手追上甲选手时，他们距离终点还有多少千米？ （3）若甲选手跑最后一段的平均速度与他前的平均速度相同，那么当乙选手到达终点时，甲选手还要经过多长时间到达终点？ 【答案】（1）甲选手起跑时的速度为； （2）相遇时他们距离终点还有； （3）乙到达终点后，甲选手经过后也到达了终点． 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息： （1）根据函数图象，利用速度等于路程除以时间，即可解答； （2）根据函数图象可得乙选手的速度，即可解答； （3）由图可得，甲最后的冲刺阶段距终点的距离，即可解答． 【小问1详解】 解∶ 根据图象可知，， 答∶甲选手起跑时的速度为； 【小问2详解】 解∶ 由图象可知，， 相遇时他们距离终点的路程， 答∶相遇时他们距离终点还有． 【小问3详解】 解∶ 由图象可知，甲最后的冲刺阶段距离终点还有． 所以． 答∶乙到达终点后，甲选手经过后也到达了终点． 22. 如图，E，F分别是长方形的边上的点（不与端点重合），连接，将四边形沿EF折叠，点C，D的对应点分别为点，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查折叠的性质及平行线的性质，根据题意得出，再由折叠的性质求解即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∴， ∴， 由折叠性质可知， ∴， ∴． 23. 【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用． 【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． （1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴　　　　，　　　　， ∴　　　　． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　　　　． 【拓展应用】 （3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)． 【答案】（1），，（2）5 （3）到的距离和最小的点在线段上， ∵点A与点C关于对称， ∴到的距离和最小的点是线段和的交点， ∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点， 故连接交于点G，点G即为所求作的点， 【解析】 【分析】本题考查轴对称，最短路径问题，文字量多，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可； （2）根据对称性和垂线段最短，以及等边三角形每条边上的高相等即可得解； （3）连接交于点G，即可得解． 【详解】解：（1）证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴，， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 故答案为：，，； （2）∵是的平分线， ∴可在上找到点E关于直线对称的对称点， 作出点，连接，则， 过点B作， 由垂线段最短可知，当点B、P、三点共线，且垂直时，有最小值， 即的最小值是的长度， ∵等边三角形每条边上的高相等， ∴的最小值为：， 故答案为：5； （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $