第7章 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [知识整合·思维导图] [题型梳理·素养聚焦] [考点一]　数据分析，数学运算—一元线性回归分析　 [例1]　某公司为了准确把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第X年与年销量Y(单位：万件)之间的关系如下表所示. X 1 2 3 4 Y 12 28 42 56 (1)在图中画出表中数据散点图； (2)根据(1)中的散点图看出，可以用线性回归模型拟合Y与X的关系，请用相关系数加以说明； (3)建立Y关于X的线性回归方程，并预测第5年的销售量． 线性回归方程Y＝＋X中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： [解]　(1)画出散点图如图所示： (2)由(1)中的散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，且由题中所给表格及参考数据得： 因为Y与X的相关系数近似为0.998，说明Y与X的线性相关程度相当高， 所以可以用线性回归模型拟合Y与X的关系． (3)由(2)知， ＝－＝－×＝－2，所以Y关于X的经验回归方程为Y＝X－2.当X＝5时，Y＝×5－2＝71，故预测第5年的销售量为71万件． 1．相关系数的关注点 (1)相关系数可以反映两个变量之间的线性相关程度，即散点集中于一条直线的程度，其符号反映了相关关系的正负性． (2)变量间是否具有线性相关关系，可通过散点图或相关系数作出判断，散点图只有粗略作出判断，用相关系数能够较准确的判断相关的程度． 2．求经验回归方程的步骤 (1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有直线拟合． (2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数． (3)写方程：写出线性回归方程，并利用线性回归方程进行预测说明． [变式训练] 1．为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹的影响，在肥胖人群中随机抽出8人，他们的肥胖指数BMI值、总胆固醇TC指标值(单位：mmol/L)，空腹血糖CLU指标值(单位：mmol/L)如表所示： 人员编号 1 2 3 4 5 6 7 8 BMI x 25 27 30 32 33 35 40 42 TC指标值y 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.5 6.9 7.1 CLU值标值z 6.7 7.2 7.3 8.0 8.1 8.6 9.0 9.1 用变量Y与X，Z的相关系数，分别说明TC指标值与BMI值，CLU指标值与BMI的值的相关程度； 解：变量Y与X的相关系数r≈≈0.95， 变量Z与X的相关系数r′≈≈0.99，可以看出TC指标值与BMI值，CLU指标值与BMI值都是高度正相关． [考点二]　数据分析、数学运算—独立性检验　 [例2]　随着互联网的发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多．为了防范网络犯罪与网络诈骗，某学校举办“网络安全宣传倡议”活动．该学校从全体学生中随机抽取了100名男生和100名女生对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查．下面是问卷调查得分的频率分布表： 成绩(分) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频率 0.075 0.2 0.3 0.25 0.15 0.025 将得分不低于70分的学生视作了解，已知有50名男生问卷调查得分不低于70分． (1)根据已知条件完成下面2×2列联表； 男 女 合计 了解 不了解 合计 (2)判断是否有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？ 参考公式：χ2＝ ，其中n＝a＋b＋c＋d. 参考数据： P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.010 0.005 k 2.706 3.841 6.635 7.879 [解]　(1)问卷调查结果为“了解”的学生人数为(0.25＋0.15＋0.025)×200＝85， 又因为其中男生有50人，所以其中女生有85－50＝35人， 所以2×2列联表如下： 男 女 合计 了解 50 35 85 不了解 50 65 115 合计 100 100 200 (2)零假设H0：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关， 由(1)可得χ2＝≈4.604＞3.841， 根据独立性检验，我们推断H0不成立， 即认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05， 即有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关． 独立性检验的关注点 1．步骤：列表，计算，判断； 2．注意； (1)χ2计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能张冠李戴；三是计算时要细心； (2)判断时把计算结果与临界值比较，其值越大，有关的可信度越高． [变式训练] 2．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如下图所示的频率分布直方图． 　 25周岁以上组　　　　25周岁以下组　　 规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下： 　　　　　是否“生产能手” 年龄组　　　　　 生产 能手 非生产 能手 总计 25 周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组 15 25 40 总计 30 70 100 所以得χ2＝ ＝＝≈1.79. 因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”． [考点三]　数据分析、逻辑推理——非线性回归问题　 [例3]　某工厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量Y(g)与尺寸X(mm)之间满足关系式Y＝aXb(a，b为大于0的常数)，现随机抽取6件合格产品，测得数据如下： 尺寸/mm 38 48 58 68 78 88 质量/g 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 对数据作了处理，相关统计量的值如下表： (ln xi·ln yi) (ln xi) (ln yi) (ln xi)2 75.3 24.6 18.3 101.4 (1)根据所给数据，求Y关于X的回归方程(提示：由已知，ln y是ln x的线性关系)； (2)按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品，现从抽取的6件合格产品再任选3件，求恰好取得两件优等品的概率． 附：对于一组数据(v1，u1)，(v2，u2)，…，(vn，un)，其回归直线U＝＋V的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为＝，＝－. [解]　(1)对Y＝aXb(a，b>0)，两边取自然对数得ln Y＝b lnX＋ln a， 令vi＝ln xi，ui＝ln yi，得U＝bV＋ln a，＝＝＝，ln a＝－b＝－×＝1，得a＝e，故所求回归方程为Y＝eX. (2)由＝＝∈，解得49<x<81，x＝58,68,78，即优等品有3件． 记“恰好取得两件优等品”为事件A，从6件合格产品中选出3件的方法数为C＝20， 从6件合格产品取3件恰好2件为优等品的取法有CC＝9种，则P(A)＝＝. 非线性回归问题的解题策略 (1)画散点图：首先画出已知数据的散点图． (2)拟合数据：把散点图与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数． (3)变量代换：采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决． [变式训练] 3．在某化学实验中，测得如下表所示的6对数据，其中X(单位：min)表示化学反应进行的时间，Y(单位：mg)表示未转化物质的质量. X 1 2 3 4 5 6 Y 39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3 (1)设Y与X之间具有关系Y＝cdX，试根据测量数据估计c和d的值(精确到0.001)； (2)估计化学反应进行到10 min时未转化物质的质量(精确到0.1)． 解：(1)在Y＝cdX两边取自然对数，令ln Y＝Z， ln c＝a，ln d＝b，则Z＝a＋bX.由已知数据，得 X 1 2 3 4 5 6 Y 39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3 Z 3.684 3.472 3.235 3.011 2.785 2.588 由公式得≈3.905 5，≈－0.221 9， 则线性回归方程为Z＝3.905 5－0.221 9X. 而ln c＝3.905 5，ln d＝－0.221 9，故c≈49.675，d≈0.801， ∴c，d的估计值分别为49.675和0.801. (2)当X＝10时，由(1)所得公式可得Y≈5.4(mg)． 学科网（北京）股份有限公司 $$