第4章 §1 数学建模实例-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§1　数学建模实例 　　　　衣服漂洗次数问题 一、实际情境 日常洗衣服都要经历两个阶段，第一阶段是用去污剂搓洗衣服，第二阶段是漂洗衣服．一般来讲要漂洗多次，漂洗的次数越多衣服越干净． 二、提出问题 在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干净？ 三、相关因素分析及假设 影响漂洗衣服干净程度的因素有：漂洗前衣服上残留的污物量，用于漂洗衣服的清水量，漂洗的次数，每次漂洗用的清水量，每次漂洗后衣服上残留的污物量． 假设： 1．漂洗所用的清水总量是定值，记为A kg； 2．共漂洗n(n∈N＋)次，每次漂洗所用的清水量相等，记为a kg； 3．初次漂洗之前衣服上的污物量记为m0 kg，第i(1≤i≤n，且i∈N＋)次漂洗后，将衣服拧干，衣服上残留污物量记为mi kg； 4．每次漂洗拧干后，衣服上留有的清水量相等，记为b kg； 5．每次漂洗，衣服上残留的污物可均匀地溶解在水中； 6．为了使衣服上的污物能均匀地溶解在水里，每次漂洗时存在用水最小量，记为c kg； 7．衣服上的残留污物量小于ε kg，则称衣服被漂洗干净了． 四、建立模型 第1次漂洗前，衣服上有污物m0 kg，衣服上留有的清水量b kg. 第1次漂洗时加入清水a kg，此时m0 kg污物均匀地溶解在(a＋b) kg清水里，漂洗拧干后，衣服上残留的污物量为m1 kg，满足 ＝ ，即m1＝ . 进而可得m2＝ ＝. 同理mn＝＝. 另外，由假设可知，a≥c，即n≤ . 于是，问题转化为只需要求同时满足＜ε和n≤ 的n值即可．通过对n赋值，得到符合条件的n值，即得结果． 事实上，为了保证有解，应当满足条件 ＜ε，其中 表示不超过 的最大整数． 五、检验 由模型得出的结论可通过实际检测得到(略)． 以上过程是一个完整的数学建模活动过程．在这之后，我们还可以做进一步的工作，比如： 1．改进已有模型，可通过改进假设，建立新的模型，使新的模型更接近实际． 2．讨论模型的特征，扩大模型的适用范围，以解决更多的问题． 3．深入分析实际情境，提出新的问题，进行新问题解决的数学建模活动． 在上面的数学建模活动中，做了模型的假设：每次漂洗所用的清水量相等，在本节开始还提及：漂洗的次数越多衣服越干净．现在，不禁要问： (1)如果每次漂洗所用的清水量不相等，结果又怎样呢？ (2)“漂洗的次数越多衣服越干净”的结论正确吗？ 在这里只讨论问题(1)： 为了简单起见，只讨论漂洗2次，设2次所用的清水量分别为a1 kg，a2 kg，且a1＋a2＝A，A是定值，比较a1＝a2和a1≠a2的漂洗效果． 在漂洗所用的清水量不相等(a1≠a2)时， m2＝ . 我们希望m2尽可能地小，即 尽可能地大．由基本不等式，得 ＋≥2， 即≤ 2 ＝ 2 ＝ 2 . 因为这里的 2 是定值，所以当且仅当1＋＝1＋ ，即a1＝a2时， 取得最大值．这说明，在只漂洗2次的情况下，所用的清水量相等的漂洗效果最佳． 一般地，在用水总量和漂洗次数都相同的情况下，等量用水漂洗比不等量用水漂洗下的最后残留污物量要少． [思考交流] 经验告诉我们，漂洗的次数越多衣服越干净，能给出数学的解释吗？为了简单起见，只比较平均用水共漂洗2次比漂洗1次要好． 　　　　停车距离问题 [目的]　在数学建模活动中，经历从现实问题中确定变量、探寻关系、建立模型、计算系数、分析结论的全过程，形成和发展数学建模素养． [情境]　根据现实背景，建立急刹车的停车距离数学模型，理解数学模型中系数的意义，并根据模型得到的结果，就行车安全提出建议． 数学建模活动是一个科学研究的过程，可以个人单独进行，也可以组织研究小组共同开展．科学研究通常需要经历选题、开题、做题、结题四个基本步骤． 选题．本案例活动的选题步骤略去． 开题．结合问题，查阅相关资料，检索已有成果，用“头脑风暴”的形式集思广益，初步形成解决问题的大致思路和方案，并分析操作的可行性．尝试撰写开题报告．教师可以组织小组之间交流，请学生代表本小组介绍开题报告，交流反思后，改进并确定实施方案． 做题．实施建立模型、求解模型、检验结果的过程，写出结题报告或写成小论文． 结题．在班里介绍建模过程、结果和收获，由老师和其他同学给出评价． [分析]　本案例中，数学建模活动大体需要经历以下几个关键环节． 第一，确定影响停车距离的主要因素．例如，停车距离与刹车前汽车行驶的速度有关；与驾驶人员的反应时间有关，因人而异；与车辆的刹车性能有关，因车而异；还与道路状况、天气状况等一些随机因素有关．构建数学模型需要确定最为关键的因素，例如，在高速公路上，如果汽车刹车性能良好，则主要考虑前两个因素． 第二，建立急刹车的停车距离模型．由上面的分析，可以得到一个用生活语言表述的模型：停车距离＝反应距离＋制动距离．① 设d表示停车距离，d1表示反应距离，d2表示制动距离，用数学符号把上述模型表示为d＝d1＋d2.为了得到d1和d2的具体表达式，可以作下面的假设． 关于反应距离，假设反应距离是反应时间和汽车速度的函数，反应时间是指司机意识到应当急刹车到实施刹车所需要的时间，汽车速度是指司机在实施急刹车之前汽车的速度．在一般情况下，反应距离d1与反应时间t和汽车速度v都成正比，把这个关系表示为d1＝ktv，其中k为正的待定系数．在现实生活中，可以知道反应时间t＞0，但很难确定具体数值．因此，最终只能确认反应距离与汽车速度成正比，即把这个关系写成d1＝αv，可以认为用α替代了kt. 关于制动距离，假设刹车受力大小近似等于汽车轮胎与路面的摩擦力，制动距离是刹车受力与汽车速度的函数． 若F表示刹车受力，则汽车急刹车时所作的功为Fd2.根据能量守恒定律得Fd2＝ ，其中m是汽车质量．另一方面，如果急刹车时的加速度是a，再根据牛顿第二定律得F＝ma.综合上面两个式子，可以得到mad2＝ ，即制动距离d2＝ .也就是说，制动距离与汽车速度平方成正比：d2＝βv2，其中β是待定参数．依据①式，得 d＝d1＋d2＝αv＋βv2.② 第三，确定参数，计算求解．模型中的参数是至关重要的，一般来说不可能通过理论计算得到，因为在构建模型的过程中有许多因素没有也不可能考虑清楚．在现实模型中，参数值通常是通过统计方法得到的，是通过现实数据估计出来的．大体上有三种方法可以得到现实数据：调查、实验和试验． 为了估计急刹车的停车距离模型中的参数，需要通过试验的方法得到现实数据．下表是美国公路局公布的试验数据．通过正比例关系d1＝αv和d2＝βv2，可以计算出下表每一行中相应的α和β的值．它们的平均数分别为α＝0.21，β＝0.006，这组数据可以作为对参数α，β的一种估计．于是，通过试验数据得到了停车距离模型d＝0.21v＋0.006v2.③ 通过试验观察到的反应距离、 制动距离与停车距离 v/(km·h－1) d1/m d2/m d/m α β 32 6.7 6.1 12.8 0.209 0.006 0 40 8.5 8.5 17.0 0.213 0.005 3 48 10.1 12.3 22.4 0.210 0.005 3 56 11.9 16.0 27.9 0.213 0.005 1 64 13.4 21.9 35.3 0.209 0.005 3 72 15.2 28.2 43.4 0.211 0.005 4 80 16.7 36.0 52.7 0.209 0.005 6 89 18.6 45.3 63.9 0.209 0.005 7 97 20.1 55.5 75.6 0.207 0.005 9 105 21.9 67.2 89.1 0.209 0.006 1 113 23.5 81.0 104.5 0.208 0.006 3 121 25.3 96.9 122.2 0.209 0.006 6 128 26.8 114.6 141.4 0.209 0.007 0 从③式可以看到，汽车停车距离模型是汽车速度的二次函数，因此从数学应用的角度可以认为，函数是构建数学模型的有力工具． 由于模型中的参数来源于实际，在一般情况下，这个模型能够经受实践的检验．因此，急刹车的停车距离模型③普遍应用于汽车刹车设计和路面交通管理． 为了便于查阅，除了构建模型、制作表格外，人们也给出直观图形．下图直观地给出了急刹车的停车距离模型． 停车距离示意图 学科网（北京）股份有限公司 $$