第四章 1 数学建模实例-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

§１　数学建模实例 　　　　衣服漂洗次数问题 一、实际情境 日常洗衣服都要经历两个阶段,第一阶段是 用去污剂搓洗衣服,第二阶段是漂洗衣服． 一般来讲要漂洗多次,漂洗的次数越多衣服 越干净． 二、提出问题 在给定漂洗所用的清水量的前提下,漂洗多 少次能使衣服干净? 三、相关因素分析及假设 影响漂洗衣服干净程度的因素有:漂洗前衣 服上残留的污物量,用于漂洗衣服的清水 量,漂洗的次数,每次漂洗用的清水量,每次 漂洗后衣服上残留的污物量． 假设: １．漂洗所用的清水总量是定值,记为Akg; ２．共漂洗n(n∈N＋)次,每次漂洗所用的清水 量相等,记为akg; ３．初次漂洗之前衣服上的污物量记为m０kg, 第i(１≤i≤n,且i∈N＋ )次漂洗后,将衣服 拧干,衣服上残留污物量记为mikg; ４．每次漂洗拧干后,衣服上留有的清水量相 等,记为bkg; ５．每次漂洗,衣服上残留的污物可均匀地溶解 在水中; ６．为了使衣服上的污物能均匀地溶解在水里, 每次漂洗时存在用水最小量,记为ckg; ７．衣服上的残留污物量小于εkg,则称衣服被 漂洗干净了． 四、建立模型 第１次漂洗前,衣服上有污物m０kg,衣服上 留有的清水量bkg． 第１次漂洗时加入清水akg,此时m０kg污 物均匀地溶解在(a＋b)kg清水里,漂洗拧 干后,衣服上残留的污物量为 m１kg,满足 m１ b ＝ m０ a＋b ,即m１＝ m０ １＋ab ． 进而可得m２＝ m１ １＋ab ＝ m０ １＋ab æ è ç ö ø ÷ ２． 同理mn＝ m０ １＋ab æ è ç ö ø ÷ n＝ m０ １＋Anb æ è ç ö ø ÷ n． 另外,由假设可知,a≥c,即n≤Ac ． 于是,问 题 转 化 为 只 需 要 求 同 时 满 足 m０ １＋Anb æ è ç ö ø ÷ n＜ε和n≤ A c 的n 值即可．通过对 n赋值,得到符合条件的n值,即得结果． 事实 上,为 了 保 证 有 解,应 当 满 足 条 件 m０ １＋cb æ è ç ö ø ÷ A c[ ] ＜ε,其中 Ac é ë êê ù û úú 表示不超过 A c 的 最大整数． 五、检验 由模型得出的结论可通过实际检测得到 (略)． 以上过程是一个完整的数学建模活动过程． 在这之后,我们还可以做进一步的工作, 比如: １．改进已有模型,可通过改进假设,建立新的 模型,使新的模型更接近实际． ２．讨论模型的特征,扩大模型的适用范围,以 解决更多的问题． ３．深入分析实际情境,提出新的问题,进行新 问题解决的数学建模活动． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１１􀅰 第四章　数学建模活动(三) 在上面的数学建模活动中,做了模型的假 设:每次漂洗所用的清水量相等,在本节开 始还提及:漂洗的次数越多衣服越干净．现 在,不禁要问: (１)如果每次漂洗所用的清水量不相等,结果 又怎样呢? (２)“漂洗的次数越多衣服越干净”的结论正 确吗? 在这里只讨论问题(１): 为了简单起见,只讨论漂洗２次,设２次所 用的清水量分别为a１kg,a２kg,且a１＋a２ ＝A,A 是定值,比较a１＝a２ 和a１≠a２ 的 漂洗效果． 在漂洗所用的清水量不相等(a１≠a２)时, m２＝ m０ １＋ a１ b æ è ç ö ø ÷ １＋ a２ b æ è ç ö ø ÷ ． 我们 希 望 m２ 尽 可 能 地 小,即 １＋ a１ b æ è ç ö ø ÷ １＋ a２ b æ è ç ö ø ÷ 尽可能地大．由基本不等式,得 １＋ a１ b æ è ç ö ø ÷＋ １＋ a２ b æ è ç ö ø ÷≥２ １＋ a１ b æ è ç ö ø ÷ １＋ a２ b æ è ç ö ø ÷, 即 １＋ a１ b æ è ç ö ø ÷ １＋ a２ b æ è ç ö ø ÷ ≤ １ ４ １＋ a１ b æ è ç ù û úú＋ １＋ a２ b æ è ç ö ø ÷ é ë êê ö ø ÷ ２ ＝１４ ２＋ a１＋a２ b æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１４ ２＋ A b æ è ç ö ø ÷ ２ ． 因为这里的１ ４ ２＋ A b æ è ç ö ø ÷ ２ 是定值,所以当且 仅当 １＋ a１ b ＝１＋ a２ b ,即 a１ ＝a２ 时, １＋ a１ b æ è ç ö ø ÷ １＋ a２ b æ è ç ö ø ÷ 取得最大值．这说明,在 只漂洗２次的情况下,所用的清水量相等 的漂洗效果最佳． 一般地,在用水总量和漂洗次数都相同的 情况下,等量用水漂洗比不等量用水漂洗 下的最后残留污物量要少． [思考交流] 经验告诉我们,漂洗的次数越多衣服越干 净,能给出数学的解释吗? 为了简单起见, 只比较平均用水共漂洗２次比漂洗１次 要好． 　　　　停车距离问题 [目的]　在数学建模活动中,经历从现实问题 中确定变量、探寻关系、建立模型、计算系 数、分析结论的全过程,形成和发展数学建 模素养． [情境]　根据现实背景,建立急刹车的停车距 离数学模型,理解数学模型中系数的意义, 并根据模型得到的结果,就行车安全提出 建议． 数学建模活动是一个科学研究的过程,可以 个人单独进行,也可以组织研究小组共同开 展．科学研究通常需要经历选题、开题、做 题、结题四个基本步骤． 选题．本案例活动的选题步骤略去． 开题．结合问题,查阅相关资料,检索已有成 果,用“头脑风暴”的形式集思广益,初步形 成解决问题的大致思路和方案,并分析操作 的可行性．尝试撰写开题报告．教师可以组 织小组之间交流,请学生代表本小组介绍开 题报告,交流反思后,改进并确定实施方案． 做题．实施建立模型、求解模型、检验结果的 过程,写出结题报告或写成小论文． 结题．在班里介绍建模过程、结果和收获,由 老师和其他同学给出评价． [分析]　本案例中,数学建模活动大体需要经 历以下几个关键环节． 第一,确定影响停车距离的主要因素．例如, 停车距离与刹车前汽车行驶的速度有关;与 驾驶人员的反应时间有关,因人而异;与车 辆的刹车性能有关,因车而异;还与道路状 况、天气状况等一些随机因素有关．构建数 学模型需要确定最为关键的因素,例如,在 高速公路上,如果汽车刹车性能良好,则主 要考虑前两个因素． 第二,建立急刹车的停车距离模型．由上面 的分析,可以得到一个用生活语言表述的模 型:停车距离＝反应距离＋制动距离．① 设d表示停车距离,d１ 表示反应距离,d２ 表 示制动距离,用数学符号把上述模型表示为 d＝d１＋d２．为了得到d１ 和d２ 的具体表达 式,可以作下面的假设． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 关于反应距离,假设反应距离是反应时间和 汽车速度的函数,反应时间是指司机意识到 应当急刹车到实施刹车所需要的时间,汽车 速度是指司机在实施急刹车之前汽车的速 度．在一般情况下,反应距离d１ 与反应时间 t和汽车速度v 都成正比,把这个关系表示 为d１＝ktv,其中k为正的待定系数．在现实 生活中,可以知道反应时间t＞０,但很难确 定具体数值．因此,最终只能确认反应距离 与汽车速度成正比,即把这个关系写成d１ ＝αv,可以认为用α替代了kt． 关于制动距离,假设刹车受力大小近似等于 汽车轮胎与路面的摩擦力,制动距离是刹车 受力与汽车速度的函数． 若F 表示刹车受力,则汽车急刹车时所作 的功为 Fd２．根据能量守恒定律得 Fd２＝ mv２ ２ ,其中 m 是汽车质量．另一方面,如果 急刹车时的加速度是a,再根据牛顿第二定 律得F＝ma．综合上面两个式子,可以得到 mad２＝ mv２ ２ ,即制动距离d２＝ v２ ２a ． 也就是 说,制动距离与汽车速度平方成正比:d２＝ βv ２,其中β是待定参数．依据①式,得 d＝d１＋d２＝αv＋βv ２．② 第三,确定参数,计算求解．模型中的参数是 至关重要的,一般来说不可能通过理论计算 得到,因为在构建模型的过程中有许多因素 没有也不可能考虑清楚．在现实模型中,参 数值通常是通过统计方法得到的,是通过现 实数据估计出来的．大体上有三种方法可以 得到现实数据:调查、实验和试验． 为了估计急刹车的停车距离模型中的参数, 需要通过试验的方法得到现实数据．下表是 美国公路局公布的试验数据．通过正比例关 系d１＝αv和d２＝βv ２,可以计算出下表每一 行中相应的α和β的值．它们的平均数分别 为α＝０􀆰２１,β＝０􀆰００６,这组数据可以作为对 参数α,β的一种估计．于是,通过试验数据 得 到 了 停 车 距 离 模 型 d ＝ ０􀆰２１v ＋ ０􀆰００６v２．③ 通过试验观察到的反应距离、 制动距离与停车距离 v/(km􀅰h－１) d１/m d２/m d/m α β ３２ ６􀆰７ ６􀆰１ １２􀆰８ ０􀆰２０９ ０􀆰００６０ ４０ ８􀆰５ ８􀆰５ １７􀆰０ ０􀆰２１３ ０􀆰００５３ ４８ １０􀆰１ １２􀆰３ ２２􀆰４ ０􀆰２１０ ０􀆰００５３ ５６ １１􀆰９ １６􀆰０ ２７􀆰９ ０􀆰２１３ ０􀆰００５１ ６４ １３􀆰４ ２１􀆰９ ３５􀆰３ ０􀆰２０９ ０􀆰００５３ ７２ １５􀆰２ ２８􀆰２ ４３􀆰４ ０􀆰２１１ ０􀆰００５４ ８０ １６􀆰７ ３６􀆰０ ５２􀆰７ ０􀆰２０９ ０􀆰００５６ ８９ １８􀆰６ ４５􀆰３ ６３􀆰９ ０􀆰２０９ ０􀆰００５７ ９７ ２０􀆰１ ５５􀆰５ ７５􀆰６ ０􀆰２０７ ０􀆰００５９ １０５ ２１􀆰９ ６７􀆰２ ８９􀆰１ ０􀆰２０９ ０􀆰００６１ １１３ ２３􀆰５ ８１􀆰０ １０４􀆰５ ０􀆰２０８ ０􀆰００６３ １２１ ２５􀆰３ ９６􀆰９ １２２􀆰２ ０􀆰２０９ ０􀆰００６６ １２８ ２６􀆰８ １１４􀆰６ １４１􀆰４ ０􀆰２０９ ０􀆰００７０ 从③式可以看到,汽车停车距离模型是汽车 速度的二次函数,因此从数学应用的角度可 以认为,函数是构建数学模型的有力工具． 由于模型中的参数来源于实际,在一般情况 下,这个模型能够经受实践的检验．因此,急 刹车的停车距离模型③普遍应用于汽车刹 车设计和路面交通管理． 为了便于查阅,除了构建模型、制作表格外, 人们也给出直观图形．下图直观地给出了急 刹车的停车距离模型． 停车距离示意图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１１􀅰 第四章　数学建模活动(三) 第五章　计数原理 §１　基本计数原理 １．１　分类加法计数原理１􀆰２分步乘法计数原理 课前预习学案 知识梳理 知识点一　m１＋m２＋􀆺＋mn　 [思考] １．[提示]　能,每一类中的每一种方法都能独立完成这件事． ２．[提示]　各种方案之间相互独立,并且任何一类方案中任何 一种方法也相互独立． ３．[提示]　 不能,每一步中的每一种方法不能独立完成这 件事． ４．[提示]　完成一件事指的是将完成这件事划分成几个步骤, 各步骤之间有一定的连续性,只有当所有步骤都完成了,整 个事件才算完成． ５．[提示]　从计数上看,各步的方法数的积就是完成这一件事 的方法总数． 预习自测 １．(１)√　(２)√　(３)√ ２．C　[分两类:第１类,从高一年级８个班中选一个班共有８ 种安排方法;第２类,从高二年级中选一个班共有６种安排 方法．故共有８＋６＝１４种安排方法．所以选 C．] ３．B　[分三类:第一类,乘汽车,从 ３ 次中选１次有３种走法; 第二类,乘火车,从４次中选 １ 次有４种走法;第三类,乘轮 船,从２次中选 １ 次有 ２ 种走法．所以,共有３＋４＋２＝９ (种)不同的走法．] ４．D　[这件事可分为两步完成:第一步,在集合 ２,３,７{ } 中任 取一个值x 有３种方法;第二步,在集合 －１,－２,４{ } 中任 取一个值y有３种方法．根据分步乘法计数原理知,有３×３ ＝９个不同的点．] ５．解析:分三类:第一类为一位整数,有３个;第二类为两位整 数,有１２,２１,１３,３１,２３,３２,共６个;第三类为三位整数,有 １２３,１３２,３２１,３１２,２３１,２１３,共６个．∴共写出没有重复数字 的整数３＋６＋６＝１５个． 答案:１５ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)分三类: 第一类选法,从 高 三 􀅰 一 班 中 任 选 一 名,有 ５０ 种 不 同 的 方法; 第二类选法,从 高 三 􀅰 二 班 中 任 选 一 名,有 ６０ 种 不 同 的 方法; 第三类选法,从 高 三 􀅰 三 班 中 任 选 一 名,有 ５５ 种 不 同 的 方法． 根据分类加法计数原理,得５０＋６０＋５５＝１６５(种) 因此共有１６５种不同的选法． (２)分三类: 第一类选法,从高三􀅰一班男生中任选一名,有３０种不同的 方法; 第二类选法,从高三􀅰二班男生中任选一名,有３０种不同的 方法; 第三类选法,从高三􀅰三班女生中任选一名,有２０种不同的 方法． 根据分类加法计数原理,得３０＋３０＋２０＝８０(种)． 故共有８０种不同的选法． [例２]　[解]　完成从这三种型号的电视机中各选１台检验 可分三步完成: 第一步:从甲种型号中选１台,有１０种不同的方法; 第二步:从乙种型号中选１台,有８种不同的方法; 第三步:从丙种型号中选１台,有１２种不同的方法． 根据分步乘法计数原理,得１０×８×１２＝９６０(种)． 因此共有９６０种不同的方法． [例３]　[解]　(１)分为三类:从国画中选,有５种不同的选 法;从油画中选,有２种不同的选法;从水彩画中选,有７种 不同的选 法．根 据 分 类 加 法 计 数 原 理,共 有 ５＋２＋７＝１４ (种)不同的选法． (２)分为三步:国画、油画、水彩画各有５种,２种, ７种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有５×２×７＝７０ (种)不同的选法． (３)分为三类:第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分 步乘法计数原理知,有５×２＝１０(种)不同的选法; 第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有５×７＝３５(种) 不同的选法; 第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有２×７＝１４(种) 不同的选法． 所以共有１０＋３５＋１４＝５９(种)不同的选法． 变式训练 １．(１)C　[分３类:买１本书,买２本书和买３本书．各类的购 买方式依次有３种、３种和１种,故购买方式共有３＋３＋１＝ ７种．] (２)解析:按照开关断开的个数分类讨论．若断开１个,则有 (１),(４)２种情况;若断开２个,则有(１,４),(２,３),(１,２), (１,３),(４,２),(４,３)６种情况;若断开３个,则有(１,２,３), (１,２,４),(２,３,４),(１,３,４)４种情况;若断开４个,则有(１, ２,３,４)１种情况．综上,共有２＋６＋４＋１＝１３种情况． 答案:１３ ２．C　[若甲、乙都去,剩下的５人每个 人 都 可 以 选 择 去 或 不 去,有２５ 种去法; 若甲、乙都不去,剩下的５人每个人都可以选择去或不去,有 ２５ 种去法． 故一共有２５＋２５＝６４种去法．] ３．解:(１)从高一选１人作为总负责人有５０种选法;从高二选 １人作为总负责人有４２种选法;从高三选１人作为总负责 人有３０种选法．由分类加法计数原理,可知共有５０＋４２＋ ３０＝１２２(种)选法． (２)从高一选１名负责人有５０种选法;从高二选１名负责 人有４２种选法;从高三选１名负责人有３０种选法．由分步 乘法计数原理,可知共有５０×４２×３０＝６３０００(种)选法． (３)①高一和高二各选１人作为中心发言人,有５０×４２＝ ２１００(种)选法;②高二和高三各选１人作为中心发言人,有 ４２×３０＝１２６０(种)选法;③高一和高三各选１人作为中心 发言人,有５０×３０＝１５００(种)选法．故共有２１００＋１２６０＋ １５００＝４８６０(种)选法． 当堂达标 １．C　[根据分类加法计数原理,从甲地去乙地共有３＋４＝ ７种不同的交通方式．] ２．C　[若甲先传给乙,则有甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲 →丙→甲,甲→乙→丙→乙→甲３种不同的传递方式;同理, 甲先传给丙也有３种不同的传递方式．故共有６种不同的传 递方式．] ３．解析:根据分类加法计数原理知,从中任选１人参加学科竞 赛,不同的选派方法共有４＋５＝９(种);由分步乘法计数原 理知,从中任选１名女同学 和 １ 名 男 同 学 参 加 学 科 竞 赛, 不 同 的 选 派 方 法 共 有４×５＝２０(种)． 答案:９　２０ ４．解:(１)根据分类加法计数原理,从中任取一个球的取法共有 ８＋７＝１５种． (２)根据分步乘法计数原理,从中任取两个不同颜色的球的 取法共有８×７＝５６种． １．３　基本计数原理的简单应用 课前预习学案 知识梳理 [思考] [提示]　分类加法计数原理每一类中的方案可以完成一件 事情,而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成 一件事情． 预习自测 １．(１)×　(２)　×　(３)√ ２．C　[这名学生会主席可能是一班学生,可能是二班学生,也 可能是三班学生．依分类加法计数原理,共有５０＋５０＋５２＝ １５２(种)不同选法．] ３．B　[完成一种搭配有两个步骤,第一步,选上衣有４种不同 的选法;第二步,选长裤有３种不同的选法．所以根据分步乘 法计数原理共有４×３＝１２种不同的搭配法．] ４．解析:一个二次函数对应着a,b,c(a≠０)的一组取值,a的取 法有３种,b的取法有３种,c的取法有２种,由分步乘法计 数原理知共有３×３×２＝１８个二次函数．若二次函数为偶函 数,则b＝０,同上可知共有３×２＝６个偶函数． 答案:１８　６ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)分步解决． 第一步:选取左边第一个位置上的数字,有６种选取方法; 第二步:选取左边第二个位置上的数字,有５种选取方法; 第三步;选取左边第三个位置上的数字,有４种选取方法; 第四步:选取左边第四个位置上的数字,有３种选取方法． 由分步乘法计数原理知,可组成不同的四位密码共有６×５ ×４×３＝３６０(个)． (２)分步解决． 第一步:首位数字有５种选取方法; 第二步:百位数字有５种选取方法; 第三步:十位数字有４种选取方法; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２５２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册