第2章 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

[知识整合·思维导图] [题型梳理·素养聚焦] [考点一]　数学运算、直观想象——圆锥曲线的定义及应用　 [例1]　(1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　 ) A．椭圆　　　　　 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 (2)点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2,3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标． [解析]　(1)把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|，写成＝. ∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线． (2)抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D， 那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|. 如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4，所以|PM|＋|PF|的最小值是4. 此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是. [答案]　(1)C　(2)4　 “回归定义”解题的三点应用 应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程； 应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决； 应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决． 提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件． [考点二]　数学运算——圆锥曲线的方程　 [例2]　已知直线y＝－x＋2和椭圆＋＝1(a＞b＞0)交于A，B两点，且a＝2b.若|AB|＝2，求椭圆的方程． [解]　由消去y并整理得x2－4x＋8－2b2＝0.由Δ＝16－4(8－2b2)＞0，得b2＞2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2. ∵|AB|＝2，∴·＝2，即·＝2， 解得b2＝4，故a2＝4b2＝16.∴所求椭圆的方程为＋＝1. 求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置． (2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)． (3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． [考点三]　数学运算、直观想象——圆锥曲线的几何性质　 [例3](2021天津卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若|CD|＝|AB|.则双曲线的离心率为(　　) A.　　　　　　 B. C．2 D．3 (2)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为　________________________　. [解析]　(1)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝2px(p＞0)的公共焦点为(c,0)，则抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－c， 令x＝－c，则－＝1，解得y＝±， 所以|AB|＝， 又因为双曲线的渐近线方程为y＝±x， 所以|CD|＝，所以＝，即c＝b， 所以a2＝c2－b2＝c2，所以双曲线的离心率e＝＝. (2)设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝，e2＝.因为e1·e2＝，所以＝，即4＝，所以＝.故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.] [答案]　(1)A　(2)x±y＝0 求解离心率的三种方法 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2　(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法． (2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法． (3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观． [考点四]　逻辑推理、数学运算——直线与圆锥曲线的位置关系　 [例4]　已知椭圆＋ ＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为 ，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2. (1)求椭圆的方程； (2)求△CDF2的面积． [解]　(1)由题意知b＝1，＝，且c2＝a2－b2，解得a＝，c＝1.故椭圆方程为＋y2＝1. (2)∵F1(－1,0)，∴直线BF1的方程为y＝－2x－2， 由得9x2＋16x＋6＝0. ∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，∴直线与椭圆有两个公共点， 设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，则 ∴|CD|＝|x1－x2| ＝· ＝·＝. 又点F2到直线BF1的距离d＝，故S△CDF2＝|CD|·d＝. 直线与圆锥曲线的位置关系的解题思路主要是设点，设直线方程，联立方程，并借助判别式、根与系数的关系等知识解题，利用设而不求的思想求解，计算量较大． [考点五]　逻辑推理、数学直观、数学运算——圆锥曲线的综合问题　 [例5]　已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－4 y的焦点是它的一个焦点，又点A(1， )在该椭圆上． (1)求椭圆E的方程； (2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的B，C两点，当△ABC面积为最大值时，求直线l的方程． [解]　(1)已知抛物线的焦点为(0，－)，故设椭圆方程为＋＝1. 将点A(1，)代入方程，得＋＝1. 则a4－5a2＋4＝0，解得a2＝4或a2＝1(舍去)， 故所求椭圆方程为＋＝1. (2)设直线BC的方程为y＝x＋m， 设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 代入椭圆方程并化简， 得4x2＋2mx＋m2－4＝0， 由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0， 可得m2<8.(*) 又x1＋x2＝－m，x1x2＝， 故|BC|＝|x1－x2|＝. 又点A到BC的距离为d＝， 故S△ABC＝|BC|·d＝≤·＝，当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时等号成立(满足(*)式)，S取得最大值，此时直线l的方程为y＝x±2. 圆锥曲线中最值、范围的求解方法 (1)代数法：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用配方法、均值不等式法、单调性法、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量、不等式的应用． (2)几何法：若题目的条件与结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用几何图形性质来解决． 学科网（北京）股份有限公司 $$