第2章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

4．2　直线与圆锥曲线的综合问题 课程标准 素养解读 1.能运用直线与圆锥曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题 2．能运用直线与圆锥曲线的位置关系解决相关的最值、范围问题 通过直线与圆锥曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题与最值、范围问题，进一步培养直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. [知识梳理] [知识点一]　解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法　 1．根与系数的关系法：联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． 2．点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入圆锥曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，以椭圆为例如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点， 则 由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－. [知识点二]　求弦长的两种方法　 1．求出直线与圆锥曲线的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长． 2．联立直线与圆锥曲线的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程， 利用弦长公式：|P1P2|＝ 其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长． 提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 　利用“点差法”处理直线与圆锥曲线问题时求得的直线方程一定与圆锥曲线有两个交点吗？ 提示： “点差法”不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此必须把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足Δ>0. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)长轴是椭圆中最长的弦 .(√) (2)过抛物线y2＝2px(p＞0)时焦点且垂直于对称轴的弦长是2p.(√) (3)直线与双曲线相交一定有两个交点(×) (4)过抛物线y2＝4x的焦点作一直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝5，则这样的直线有且只有一条(×) 2．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|的值为(　　) A．5　　　 B．6　　　　 C．8　　　　 D．10 解析：C　[抛物线x2＝4y的准线为y＝－1.因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|的值为y1＋y2＋2＝8.] 3．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(　　) A. B. C. D. 解析：C　[联立消去y，得3x2＋4x－2＝0，设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，故AB的中点横坐标x0＝＝－.纵坐标y0＝x0＋1＝－＋1＝.] 4．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则|AB|＝　________　. 解析：双曲线的左焦点为(－2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB方程为y＝(x＋2)，即x－y＋2＝0，由得8y2－12y＋9＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝. ∴|AB|＝＝ ＝3. 答案：3 　　　弦长问题 [例1]　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． [思路点拨]　(1)将直线方程与椭圆方程联立，根据判别式Δ的符号，建立关于m的不等式求解；(2)利用弦长公式建立关于m的函数关系式，通过函数的最值求得m的值，从而得到直线方程． [解]　(1)由消去y，得5x2＋2mx＋m2－1＝0.∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤ .即实数m的取值范围是. (2)设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0. 由根与系数的关系，得x1＋x2＝－， x1x2＝(m2－1)．∴d＝ ＝＝ ＝＝， ∴当m＝0时，d最大，此时直线方程为y＝x. 求直线被圆锥曲线截得弦长的方法 方法一是距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长． 方法二是弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|，其中k为直线AB的斜率． [变式训练] 1．已知双曲线的渐进线方程为y＝±2x，且过点(－3,4) (1)求双曲线的方程； (2)若直线4x－y－6＝0与双曲线相交于A、B两点，求|AB|的值． 解：(1)因为双曲线的渐进线方程为y＝±2x，所以设所求双曲线的方程为：x2－＝λ(λ≠0)，把(－3,4)代入方程，整理得：9－＝λ， 解得λ＝1，所以双曲线的方程为x2－＝1； (2)由题意可知：设A(x1，y1)，B(x1，y1)， 则由整理得：3x2－12x＋10＝0， 由韦达定理得：x1＋x2＝4，x1x2＝， 由弦长公式可知： |AB|＝＝ ＝. ∴|AB|的值为. 　　　抛物线中过焦点的弦长问题 [例2]　如图，斜率为 的直线l经过抛物线y2＝2px的焦点F(1,0)，且与抛物线相交于A，B两点． (1)求该抛物线的标准方程和准线方程； (2)求线段AB的长． [思路点拨]　(1)由抛物线的焦点坐标得p值，求出抛物线方程及准线方程；(2)由过焦点的直线方程与抛物线方程联立，利用焦点弦长公式可解． [解]　(1)由焦点F(1,0)，得＝1，解得p＝2. 所以抛物线的方程为y2＝4x， 其准线方程为x＝－1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 直线l的方程为y＝(x－1)． 与抛物线方程联立，得消去y，整理得4x2－17x＋4＝0. 由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝.所以线段AB的长为. 斜率为k的直线l经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求弦长|AB|的方法有 方法一：利用两点间的距离公式； 方法二：利用弦长公式|AB|＝ |x1－x2|； 方法三：|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋ ＋x2＋ ＝x1＋x2＋p. [变式训练] 2．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程． 解：如图，依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则直线方程为y＝－x＋p. 设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD| ＝x1＋＋x2＋，即x1＋x2＋p＝8.① 又A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线和直线的交点， 由，消去y，得x2－3px＋＝0. ∵Δ＝9p2－4×＝8p2>0，∴x1＋x2＝3p，将其代入①得p＝2， ∴所求抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时， 同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.∴抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x. 　　　中点弦问题 [例3]　过椭圆 ＋ ＝1内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于A，B两点，使线段AB被点P平分，求此直线的方程． [思路点拨]　由于弦所在直线过定点P(2，1)，所以可设出弦所在直线的方程为y－1＝k(x－2)，与椭圆方程联立，通过中点为P，得出k的值，也可以通过设而不求的思想求直线的斜率． [解]　方法一　如图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.(*) 又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是(*)方程的两个根，∴x1＋x2＝. ∵P为弦AB的中点，∴2＝＝.解得k＝－，符合(*)方程中Δ>0， ∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 方法二　设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B在椭圆上，∴x＋4y＝16，x＋4y＝16. 两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴＝＝－，即kAB＝－. ∴所求直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 关于中点弦问题，一般采用两种方法解决 (1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算． (2)利用“点差法”，即若椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x，y)，则 ①－②，得a2(y－y)＋b2(x－x)＝0，∴＝－·＝－·. 这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题得以解决． [变式训练] 3．已知双曲线的方程为2x2－y2＝2. (1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线的方程． (2)过点B(1,1)能否作直线l，使直线l与所给双曲线交于Q1，Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？如果直线l存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 解：(1)因为点A(2,1)在双曲线内，所以过点A不与渐近线平行的直线一定与双曲线有两个交点．设以A(2,1)为中点的弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则有x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 根据双曲线的对称性知x1≠x2.由点P1，P2在双曲线上，得2x－y＝2,2x－y＝2， 两式相减得2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 所以2×4(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，所以＝4， 即以A(2,1)为中点的弦所在直线的斜率k＝4， 故所求中点弦所在直线的方程为y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0. (2)假定直线l存在，采用(1)的方法求出直线l的方程为y－1＝2(x－1)， 即2x－y－1＝0.由，消去y得2x2－4x＋3＝0 Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，无实根， 因此直线l与双曲线无交点，故满足条件的直线l不存在． 　　　圆锥曲线的综合问题 [例4]　椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(－2,0)，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(4,0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． [解]　(1)由条件可知，椭圆的焦点在x轴上，且a＝2，又e＝＝，得c＝. 由a2－b2＝c2得b2＝a2－c2＝2.∴所求椭圆的方程为＋＝1. (2)若存在点Q(m,0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°， 则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k1，k2.等价于k1＋k2＝0. 依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为 y＝k(x－4)． 由， 得(2k2＋1)x2－16k2x＋32k2－4＝0. 因为直线l与椭圆C有两个交点，所以Δ＞0. 即(16k2)2－4(2k2＋1)(32k2－4)＞0，解得k2＜. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)， 令k1＋k2＝＋＝0，(x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0，当k≠0时，2x1x2－(m＋4)(x1＋x2)＋8m＝0，化简得，＝0，所以m＝1.当k＝0时，也成立． 所以存在点Q(1,0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°. 在圆锥曲线的综合题中，经常遇到求范围、最值、定值、过定点和探索性问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、函数法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化． [变式训练] 4．已知椭圆C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值． 解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1. 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝. (2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0. 因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0， 解得t＝－.又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝2＋(y0－2)2 ＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0＜x≤4)． 因为＋≥4(0＜x≤4)，当且仅当x＝4时等号成立， 所以|AB|2≥8. 故线段AB长度的最小值为2. [当堂达标] 1．已知椭圆 ＋ ＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　) A. 　　　　　　　　　 B．－ C．2 D．－2 解析：B　[设弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4. 由两式相减，得＋＝0， ∴＝－，∴k＝＝－.] 2．(2023·全国乙卷(文))设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　) A．(1,1) B．(－1,2) C．(1,3) D．(－1，－4) 解析：D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M， 可得kAB＝，k＝＝， 因A，B在双曲线上，则，两式相减得(x－x)－＝0， 所以kAB·k＝＝9. 对于选项A：可得k＝1，kAB＝9， 则AB：y＝9x－8， 联立方程，消去y得 72x2－2×72x＋73＝0， 此时Δ＝(－2×72)2－4×72×73＝－288＜0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得k＝－2，kAB＝－， 则AB：y＝－x－， 联立方程，消去y得45x2＋ 2×45x＋61＝0， 此时Δ＝(2×45)2－4×45×61＝ －4×45×16＜0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得k＝3，kAB＝3，则AB：y＝3x， 由双曲线方程可得a＝1，b＝3，则AB：y＝3x为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：k＝4，kAB＝，则AB：y＝x－， 联立方程，消去y得63x2＋126x－193＝0， 此时Δ＝1262＋4×63×193＞0，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确．] 3．过双曲线x2－ ＝1的左焦点F1作倾斜角为 的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为　__________　. 解析：双曲线的左焦点为F1(－2,0)，将直线AB方程y＝(x＋2)代入双曲线方程，得8x2－4x－13＝0，显然Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以|AB|＝＝×＝3.] 4．已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被点M(2,1)所平分． (1)求抛物线E的方程； (2)求直线AB的方程． 解：(1)由于抛物线的焦点为(1,0)，∴＝1，即p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x. (2)方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，①，y＝4x2，②且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， ②－①，得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)， ∴＝2，∴所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0. 方法二　显然AB不垂直于x轴， 故可设弦AB所在直线的方程为y－1＝k(x－2)，k≠0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由消去x，得ky2－4y－8k＋4＝0，∴y1＋y2＝.又M是AB的中点，∴y1＋y2＝2，∴k＝2，故直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$