第2章 4.1 直线与圆锥曲线的交点-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4．1　直线与圆锥曲线的交点　 课程标准 素养解读 1.会判断直线与圆锥曲线的位置关系 2．能运用直线与圆锥曲线的位置关系求参数的取值(范围) 通过直线与圆锥曲线的位置关系的运用，发展直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养 [知识梳理] [知识点一]　曲线的交点　 设曲线C1：f(x，y)＝0，C2：g(x，y)＝0，求曲线C1与C2的交点，即求方程组的实数解． [知识点二]　直线与圆锥曲线的位置关系　 直线与圆锥曲线的位置关系可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有： ①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点； ③Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点． 直线与双曲线、直线与抛物线只有一个公共点，直线与双曲线、直线与抛物线一定相切吗？ 提示：直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切．(√) (2)过点A(0,1)的直线一定与椭圆x2＋＝1相交．(√) (3)直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切．(×) (4)过点(0,2)和双曲线－＝1只有一个公共点的直线有4条．(√) (5)直线y＝x与抛物线y2＝x的交点是(0,0)与(1,1)．(√) 2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋ ＝1的位置关系是(　　) A．相离　　　　　 B．相切 C．相交 D．无法确定 解析：C　[由消去y，得3x2＋2x－1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交．] 3．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 解析：B　[当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条．] 4．已知直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支相交于不同两点，则k的取值范围是　__________________________　. 解析：由得(1－k2)x2－4kx－10＝0①， 直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支相交于不同两点，即方程①有两个不同的正实数解，所以解得－＜k＜－1. 答案： 　　　直线与椭圆的位置关系 [例1]　已知直线y＝x＋m与椭圆 ＋ ＝1，当直线和椭圆相离、相切、相交时，分别求m的取值范围． [思路点拨]　　将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，记该方程的判别式为Δ.那么：若Δ＞0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离． [解]　由消去y，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，∴Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝9×43(25－m2)． 当Δ＞0，即－5＜m＜5时，直线和椭圆相交； 当Δ＝0，即m＝±5时，直线和椭圆相切； 当Δ＜0，即m＞5或m＜－5时，直线和椭圆相离．综上所述，当m∈(－∞，－5)∪(5，＋∞)时直线与椭圆相离； 当m＝±5时，直线与椭圆相切；当m∈(－5,5)时，直线与椭圆相交． 代数法判断直线与椭圆位置关系的四个步骤 第一步：确定直线与椭圆的方程； 第二步：联立直线方程与椭圆方程； 第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程； 第四步：当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离． [变式训练] 1．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时， (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③ 判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 　　　直线与双曲线位置关系的判定 [例2]　讨论直线l：y＝kx＋1与双曲线C：x2－y2＝1的公共点的个数． [解]　消去y，整理，得(1－k2)x2－2kx－2＝0. (1)当k＝1时，x＝－1. (2)当k＝－1时，x＝1. (3)当k≠±1时，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝8－4k2. 若Δ＞0，则－＜k＜；若Δ＝0，则k＝±；若Δ＜0，则k＜－或k＞. 综上，当k＜－或k＞时，直线l与双曲线C没有公共点；当k＝±时，直线l与双曲线C相切于一点；当k＝±1时，直线l与双曲线C相交于一点；当－＜k＜－1或－1＜k＜1或1＜k＜时，直线l与双曲线C有两个公共点． 由直线与双曲线交点的个数确定参数的取值(范围)时，可将直线方程与双曲线方程联立，转化为含有参数的一元二次方程，通过判别式Δ建立关于参数的不等式或方程，解不等式或方程即可，值得注意的是对二次项系数是否为零进行讨论． [变式训练] 2．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1. 若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围． 解：联立方程组消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点， 则解得－＜k＜，且k≠±1.∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)． 　　　 直线与抛物线位置关系的判定 [例3]　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． [解]　联立消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，∴y＝1， ∴直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴． 当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ①当Δ>0，即k<1，且k≠0时， l与C有两个公共点，此时直线l与C相交； ②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切； ③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离． 综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点； 当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 当k>1时，l与C没有公共点． 直线与抛物线交点问题的解题思路 (1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数． (2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切． [变式训练] 3．求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程． 解：①若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0.显然与抛物线只有一个公共点，即直线x＝0与抛物线只有一个公共点． ②若直线的斜率存在，设方程为y＝kx＋1， 由消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0，当k＝0时，解得y＝1，即直线y＝1与抛物线只有一个公共点． 当k≠0时，由Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，得k＝. 即直线y＝x＋1与抛物线只有一个公共点． 综上所述，所求直线方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1. [当堂达标] 1．直线y＝kx－k＋1与椭圆 ＋ ＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：A　[直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．] 2．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l(　　) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 解析：B　[因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．] 3．函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝(　　) A. B. C. D．1 解析：B　[∵函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切， ∴它们有且仅有一个交点．由得x＝ax2＋1，即ax2－x＋1＝0，∴Δ＝1－4a＝0，∴a＝.] 4．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则B点坐标为　________　，△AFB的面积为　________　. 解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x. 不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9， 解得x＝，y＝－； 同理，若直线FB的方程为y＝－(x－5)，则x＝，y＝；所以B. 所以S△AFB＝|AF|×|yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝. 答案：　 学科网（北京）股份有限公司 $$