第2章 3.2 抛物线的简单几何性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

3．2　抛物线的简单几何性质 课程标准 素养解读 1.了解抛物线的简单几何性质 2．能利用性质解决与抛物线有关的问题 3．能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题 通过抛物线的简单几何性质的运用，进一步培养直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养 [情境引入] 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法探究方程为y2＝2px(p>0)的抛物线， 你认为应研究抛物线的哪些几何性质，如何研究这些性质？ [知识梳理] [知识点]　抛物线的几何性质　 图象 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 性质 焦点 坐标 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 　(0,0)　 离心率 e＝1 1.焦点到准线的距离是多少？ 提示：焦点到准线的距离均为p. 2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于对称轴的弦长是多少？ 提示：过抛物线y2＝2px的焦点且垂直于对称轴的弦长是2p. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线关于顶点对称．(×) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(√) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(√) (4)抛物线y＝－x2的准线方程为x＝.(×) 2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　 ) A．x2＝16y　　　 B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y 解析：D　[顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.] 3．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　) A．(6，＋∞) B．[6，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 解析：D　[∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， ∴＝3，即p＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．] 4．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为　__________　. 解析：由抛物线的几何性质，从焦点发出的光线经抛物线反射后与x轴平行及直线y＝－2平行于x轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2. 答案：x＝－2 　　　 由抛物线几何性质求抛物线的方程 [例1]　(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为　____________　. (2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程． [解析]　(1)根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为 y2＝2px或y2＝－2px(p>0)， 则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x. [答案]　y2＝3x或y2＝－3x (2)[解]　由已知得＝2，所以＝4，解得＝， 即渐近线方程为y＝±x.而抛物线准线方程为x＝－， 于是A，B， 从而△AOB的面积为·p·＝，可得p＝2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y2＝4x. 抛物线各元素间的关系 抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为. [变式训练] 1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　 ) A．y2＝x　　　　 B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x 解析：C　[设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.] 　　　抛物线几何性质的应用 [例2]　已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程． [思路点拨]　由抛物线的对称性设出A，B两点的坐标，再利用垂直和点A，B在抛物线上求解． [解]　抛物线的焦点为F. ∵抛物线关于x轴对称，|OA|＝|OB|，∴△ABO为等腰三角形，且A，B两点关于x轴对称． 设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)．∵△ABO的垂心恰为抛物线的焦点，∴BF⊥OA. 则kBF·kOA＝－1，即·＝－1. 又y＝2px0，∴x0＝p.∴直线AB的方程为x＝. 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点：解决焦点弦问题． [变式训练] 2．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，A，B是抛物线上两点，若△AFB是等边三角形，则△AFB的边长为　________　. 解析：由题意可知点A，B一定关于x轴对称，且AF，BF与x轴夹角均为30°.由于y2＝4x的焦点为(1,0)，由化简得y2－4y－4＝0，解得y1＝2＋4，y2＝2－4，所以△AFB的边长为8＋4或8－4. 答案：8＋4或8－4 　　　抛物线的实际应用 [例3]　河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ [思路点拨]　→→→→ [解]　如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， 由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝，∴抛物线方程为x2＝－y. ∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航． 设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－. 又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航． 求抛物线实际应用的五个步骤 (1)建立适当的坐标系． (2)设出合适的抛物线标准方程． (3)通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求出需要求出的量． (5)还原到实际问题中，从而解决实际问题． [变式训练] 3.一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值． 解：以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示． 设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)． ∵AB是OD的4倍，∴点B的坐标为.由点B在抛物线上，得2＝－2p·， ∴p＝.∴抛物线方程为x2＝－ay. 设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，∴y0＝－，∴点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝－，令h＞3，则－＞3，解得a＞6＋或a＜6－(舍去)．∴a的最小整数值为13. [当堂达标] 1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(　　) A. 　 B．－　　 C．4　　 D．－4 解析：B　[由y＝ax2，变形得x2＝y＝2×y，∴p＝.又抛物线的准线方程是y＝1，∴－＝1，解得a＝－.] 2．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　 ) A. B. C. D. 解析：A　[线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.] 3．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点在坐标原点，如果这个三角形的面积为36 ，则a＝　__________　. 解析：设正三角形边长为x.由题意，得36＝x2sin 60°，∴x＝12. 当a>0时，将(6，6)代入y2＝ax，得a＝2； 当a<0时，将(－6，6)代入y2＝ax，得a＝－2.故a＝±2. 答案：±2 4．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 解：椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3， ∴p＝6.∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，相应的准线方程为x＝－3或x＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$