第2章 2.2 双曲线的简单几何性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

2．2　双曲线的简单几何性质 课程标准 素养解读 1.掌握双曲线的简单几何性质 2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义 1.通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养 2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养 [情境引入] 类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线－＝1(a>0，b>0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？ [知识梳理] [知识点一]　双曲线的简单几何性质　 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 － ＝1(a＞0，b＞0) － ＝1(a＞0，b＞0) 图形 范围 　x≤－a或x≥a　 　y≤－a或y≥a　 对称性 对称轴：　x轴、y轴　，对称中心(双曲线的中心)：　(0,0)　 顶点 A1　(－a,0)　，A2　(a,0)　 A1　(0，－a)　，A2　(0，a)　 轴长 实轴长|A1A2|＝　2a　，虚轴长|B1B2|＝　2b　；a和b分别表示双曲线的实半轴长和虚半轴长. 焦点 F1(－c,0), F2(c,0) F1(0，－c), F2(0，c) [知识点二]双曲线的离心率　 1．定义：把 叫作双曲线－ ＝1(a>0，b>0)的离心率，用e表示，e＝>1. 2．性质： 越大，e越大，双曲线的开口越大. 离心率e可以用来表示双曲线开口的程度． [知识点三]　双曲线的渐近线　 双曲线－＝1的两支在向外无限延伸时与直线y＝x和y＝－x无限逼近． 一般地，直线y＝x和y＝－x称为双曲线－＝1的渐近线． 同样，双曲线－＝1的渐近线为y＝±x. 1.渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？ [提示]　渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴的长与虚轴的长的比值相同． 2．双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？ [提示]　e2＝＝1＋，是渐近线的斜率或其倒数． [知识点四]　等轴双曲线　 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的形状相同．(√) (2)双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(×) (3)双曲线方程 － ＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是 － ＝0，(√) (4)渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系是k＝± .(×) (5)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(×) 2．双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是(　　) A．y＝±x　　　　　 B．y＝± x C．y＝± x D．y＝±2x 解析：A　[由题意知－＝1，则渐近线方程为y＝±x.] 3．若双曲线－ ＝1的离心率e＝2，则m＝　________　. 解析：由题意知a2＝16，即a＝4.又e＝2，所以c＝2a＝8，则m＝c2－a2＝48. 答案：48 4．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则实数k的取值范围是　__________　. 解析：双曲线方程可变形为－＝1， 则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝. 又因为e∈(1,2)，即1<<2，解得－12<k<0. 答案：(－12,0) 　　　根据双曲线方程研究几何性质 [例1]　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． [解]　双曲线的方程化为标准形式是－＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x. 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值； (3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质． 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置． [变式训练] 1．求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解：把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为－＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3； c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x. 　　　利用几何性质求双曲线方程 [例2]　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　 ) A.－＝1　　　　 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为_____________． [思路点拨]　(1)△OAF是边长为2的等边三角形⇒求c和点A的坐标⇒渐近线的斜率⇒求a，b. (2)法一：分焦点在x轴和y轴上两种情况求解．法二：待定系数法求解． [解析]　(1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，)，所以＝，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－＝1. (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x， 若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为：－＝1(a>0，b>0)，则＝.①因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.②联立①②，无解． 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为 －＝1(a>0，b>0)，则＝.③ 因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.④ 联立③④，解得a2＝8，b2＝32. 故所求双曲线的标准方程为－＝1. 法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)．因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8.故所求双曲线的标准方程为－＝1. [答案]　(1)D　(2)－＝1 (1)由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法： 一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求解． (2)常见双曲线方程的设法 ①渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)． ②与双曲线－＝1或－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)． ③与双曲线－＝1(a>0，b>0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ>0)或－＝λ(λ>0)，这是因为离心率不能确定焦点位置． [变式训练] 2．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)； (2)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)； (3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等． 解：(1)由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32. 因此所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)． 由点M(3，－2)在双曲线上得－＝λ，得λ＝－2. 故所求双曲线的标准方程为－＝1. (3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)． 综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 　　　求双曲线的离心率 [例3]　已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　) A. B．2 C. D. [思路点拨]　由已知条件画图⇒点M的坐标⇒代入双曲线方程． [解析]　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于H，则∠MBH＝60°，|BH|＝a，|MH|＝a，所以M(2a，a)．将点M的坐标代入双曲线方程－＝1，得a＝b，所以e＝. [答案]　D 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝得解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． [变式训练] 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为　________　. 解析： 由＝－，得＝，设||＝2x，||＝3x， 由对称性可得||＝3x，由定义可得，||＝2x＋2a，||＝5x，设∠F1AF2＝θ，则sin θ＝＝⇒cos θ＝＝，解得x＝a，所以||＝4a，||＝2a，在△AF1F2中，由余弦定理可得cos θ＝＝，即5c2＝9a2，可得e＝. 答案： 4．(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. 解析：A　[由题意，得|PF1|＝3|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a得|PF2|＝a，|PF1|＝3a，在△F1PF2中，有|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，得(2c)2＝(3a)2＋a2－2×3a×a×cos 60°，即e＝＝.] 　　　双曲线的离心率与渐近线 [例4]　(1)已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为(　　 ) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x (2)已知双曲线－ ＝1(a＞ )的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为　________　. [解析]　(1)C　[设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，∵e＝＝，c＝，∴＝＝，∴＝2，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.] (2)∵a＞，∴＜1， ∴y＝x的倾斜角小于， ∴＝tan＝， ∴a＝，c＝＝2， ∴e＝＝＝. [答案]　(1)y＝±x　(2) (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：|k|＝ ＝＝＝. (2)求双曲线渐近线的方法 求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)． [变式训练] 5．(1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　) A. B．2 C. D．2 (2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，则该双曲线的离心率为　________　. 解析：(1)∵e2＝＝＝1＋＝2，∴＝1，∴＝1，∴渐近线方程为x±y＝0，则点(4,0)到渐近线的距离d＝＝2. (2)当焦点在x轴上时，＝，即＝，∴e2＝，解得e＝；当焦点在y轴上时，＝，即＝，∴e2＝，解得e＝.故双曲线的离心率为或. 答案：(1)D　(2)或 [当堂达标] 1．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　) A．x2－ ＝1　　　　　 B. －y2＝1 C．x2－ ＝1 D. －y2＝1 解析：A　[在A项中，双曲线方程为x2－＝1，即a＝1，b＝2，∴渐近线方程为y＝±2x.] 2．双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 ，则双曲线C的焦距等于(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：C　[由已知得e＝＝2，所以a＝c，故b＝ ＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.由焦点到渐近线的距离为，得 c＝ ，解得c＝2，故2c＝4.] 3．关于双曲线－＝－1，有以下说法： ①实轴长为6；　②双曲线的离心率是；　③焦点坐标为(±5,0)；　④渐近线方程是y＝±x； ⑤焦点到渐近线的距离等于3. 正确的说法是　__________　.(把所有正确说法的序号都填上) 解析：∵双曲线－＝－1，即－＝1，∴a＝4，b＝3，c＝＝5，∴①实轴长为2a＝8，故①错误； ②双曲线的离心率是e＝＝，故②正确； ③焦点坐标为F(0，±5)，故③错误； ④渐近线方程是y＝±x，故④正确； ⑤焦点到渐近线的距离为d＝＝3，故⑤正确． 答案：②④⑤ 4．求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线的方程． 解：渐近线方程为y＝±x，设双曲线方程为x2－3y2＝λ.将(3，－2)代入求得λ＝－3，所以双曲线方程为y2－＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$