第2章 2.1 双曲线及其标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§2　双曲线 2．1　双曲线及其标准方程 课程标准 素养解读 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程 2．掌握双曲线的标准方程及其求法 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题 1.通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养 2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养 [情境引入] 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质．本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题． [知识梳理] [知识点一]　双曲线的定义　 定义 平面内到两个定点F1，F2的　距离之差的绝对值　等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线 焦点 两个　定点　F1，F2叫作双曲线的焦点 焦距 两个焦点间的　距离　叫作双曲线的焦距 集合语言 P＝{M|　||MF1|－|MF2||＝2a　，0<2a<|F1F2|} 1.双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ [提示]　当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 2．双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？ [提示]　点M在双曲线的右支上． [知识点二]　双曲线的标准方程　 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 　－＝1　(a＞0，b＞0) 　－＝1　(a＞0，b＞0) 焦点 F1　(－c,0)　，F2　(c,0)　 F1　(0，－c)　，F2　(0，c)　 a，b，c的关系 c2＝　a2＋b2　 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(×) (2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×) (3)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×) (4)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．(×) 2．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　　 ) A．双曲线　　　　 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 解析：D　[F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．] 3．若双曲线E： － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　) A．11　　 B．9　　　 C．5　　　 D．3 解析：B　[由题意知||PF2|－3|＝6，即|PF2|－3＝±6，解得|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去)．] 4．经过点P(－3,2 )和Q(－6 ，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是　________________________　. 解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(m＜0，n＞0)， 则解得故双曲线的标准方程为－＝1. 答案：－ ＝1 　　　求双曲线的标准方程 [例1]　根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点A； (2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上． [思路点拨]　(1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解． (2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解． (3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解． [解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入方程，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入方程，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.① ∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1.② 由①②得a2＝12，b2＝8， ∴双曲线的标准方程为－＝1. 法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(3，2)， ∴－＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴双曲线的标准方程为－＝1. (3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点P，Q在双曲线上，∴ 解得∴双曲线的标准方程为－＝1. (1)求双曲线标准方程的步骤 ①确定双曲线的类型，并设出标准方程； ②求出a2，b2的值． (2)当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)来求解． [变式训练] 1．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点； (2)焦距为2，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上； 解：(1)依题意，得双曲线的焦点在x轴上，且a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝5. 所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)因为焦点在x轴上，且c＝，所以设双曲线的标准方程为－＝1,0＜a2＜6. 又因为过点(－5,2)，所以－＝1，解得a2＝5或a2＝30(舍去)． 所以双曲线的标准方程为－y2＝1. 　　　双曲线的定义及应用 [例2]　若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． [思路点拨]　(1)直接利用定义求解． (2)在△F1PF2中利用余弦定理求∠F1PF2. [解]　双曲线的标准方程为－＝1，故a＝3，b＝4，c＝＝5. (1)由双曲线的定义得|MF1|－|MF2|＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22. 故点M到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝＝ ＝0，且∠F1PF2∈(0°，180°)， 所以∠F1PF2＝90°， 故S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16. (1)根据双曲线的定义求出|PF1|－|PF2|＝2a； (2)利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； (3)通过配方，利用整体的思想求出∠F1PF2； (4)利用公式S△PF1F2＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积． (5)利用公式S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积． [变式训练] 2．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为　________　. 解析：不妨设点P在双曲线的右支上， 因为PF1⊥PF2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(2)2，又|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4， 可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12， 所以|PF1|＋|PF2|＝2. 答案：2 　　　双曲线标椎方程的辨识 [例3]　(1)若方程 ＋ ＝1表示双曲线，则k的取值范围是(　　) A．[－4,1) B．(－∞，－4)∪(1，＋∞) C．(－4,1) D．(－∞，－4]∪[1，＋∞) (2)3<m<5是方程 ＋ ＝1表示双曲线的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　(1)根据题意，若方程＋＝1表示双曲线，则有(k＋4)(k－1)<0，解得－4<k<1. (2)3<m<5时，m－5<0，m2－m－6>0，方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线；若方程＋＝1表示双曲线，则(m－5)(m2－m－6)<0，所以3<m<5或m<－2，所以3<m<5是方程＋＝1表示双曲线的充分不必要条件． [答案]　(1)C　(2)A 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线． [变式训练] 3．若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在x轴上的双曲线 解析：C　[原方程化为－＝1.∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>0. ∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．] 　　　 与双曲线有关的轨迹问题 [例4]　 如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． [思路点拨]　→→→ [解]　以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)．由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)． ∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)． 由题意，设所求轨迹方程为－＝1(x>a)， ∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.即所求轨迹方程为－＝1(x>)． 求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法 (1)列出等量关系，化简得到方程． (2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程． 提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴． ②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． [变式训练] 4.如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4. 设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|. ∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.∴动圆圆心M的轨迹方程为－＝1. [当堂达标] 1．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　 ) A．双曲线　　　　　　 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 解析：D　[由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线．] 2．(多选)双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　 ) A．2　　 B．7　　　 C．17　　 D．22 解析：AD　[因为a2＝25，所以a＝5.由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10.由题意知|PF1|＝12，所以|PF1|－|PF2|＝±10，所以|PF2|＝22或2.] 3．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则实数k的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 解析：A　[将8kx2－ky2＝8化为标准方程，得－＝1.∵焦点在y轴上，∴＜0，即k＜0，∴c2＝－＝9，∴k＝－1.] 4．双曲线 － ＝1上有一点P，F1，F2是双曲线的焦点，且∠F1PF2＝ ，求△PF1F2的面积． 解：∵ ∴|PF1|·|PF2|＝36，∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin ＝9.] 学科网（北京）股份有限公司 $$