第2章 1.2 椭圆的简单几何性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

1．2　椭圆的简单几何性质 课程标准 素养解读 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形 2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线 1.通过椭圆性质的学习与应用，培养学生的数学运算的核心素养 2．借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养 [情境引入] 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等． 观察椭圆＋＝1(a >b>0 )的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ [知识梳理] [知识点一]　椭圆的简单几何性质　 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a>b>0) 范围 　－a≤x≤a且－b≤y≤b　 　－b≤x≤b且－a≤y≤a　 对称性 对称轴为　坐标轴　，对称中心为　原点　 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长|B1B2|＝　2b　，长轴长|A1A2|＝　2a　 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) 　F1(0，－c)，F2(0，c)　 焦距 |F1F2|＝2c [知识点二]　离心率　 1．定义：椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即＝e. 2．性质： (1) (2)形象记忆：0<e<1，e越趋向于1越扁，形如—；e越趋向于0越圆，形如○. 1.离心率e能否用表示？ [提示]　能．e2＝＝＝1－2， 所以e＝. 2．离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？ [提示]　不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴长的比值相同． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.(×) (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.(√) (3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．(√) (4)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1.(×) (5)设F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．(√) 2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．5,3,0.8　　　　 B．10,6,0.8 C．5,3,0.6 D．10,6,0.6 解析：B　[椭圆方程可化为＋＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝＝.] 3．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(　　) A．8　　 B．7　　　 C．5　　　 D．4 解析：A　[由题意得m－2＞10－m且10－m＞0，于是6＜m＜10，再由(m－2)－(10－m)＝22，得m＝8.] 4．椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是　__________________________　. 解析：∵2a＝18,2c＝×2a＝6，∴a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.∴椭圆的方程为＋＝1. 答案： ＋ ＝1 　　　椭圆的简单几何性质 [例1]　求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． [解]　把已知方程化成标准方程为＋＝1，所以a＝4，b＝3，c＝＝，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；离心率e＝＝；两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)；四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)． 由标准方程研究性质时的两点注意 (1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型． (2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c. [变式训练] 1．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 解：(1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝. (2)椭圆C2：＋＝1.性质如下： ①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝. 　　　求椭圆的离心率 [例2]　已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是　________　. [思路点拨]　△ABF2为正三角形⇒∠AF2F1＝30°⇒把|AF1|，|AF2|用c表示． [解析]　不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝ ＝x＝2c，再由椭圆的定义， 可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，所以e＝＝＝. [答案]　 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． [变式训练] 2．(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是(　　) A.－1　　　　　 B．2－ C.－1 D．2－ (2)若椭圆＋＝1(a＞b＞0)上存在一点M，使∠F1MF2＝90°(F1F2为椭圆的两焦点)，求椭圆的离心率的取值范围． 解：(1)如图，设F(c,0)，由于△OAF是等边三角形，得A，因为点A在椭圆上，所以有＋＝1①，在椭圆中有a2＝b2＋c2　②，联立①②，得c2＝(4－2)a2，即c＝(－1)a，则其离心率e＝＝－1. (2)设点M的坐标是(x0，y0)，则 消去y0，得x＝.因为0≤x≤a2 所以 由①，得c2≥b2，即c2≥a2＋c2，所以a2≤2c2，所以e2＝≥.又因为0＜e＜1，所以e∈， 由②，得c2－b2≤c2，此式恒成立． 综上所述，所求椭圆的离心率的取值范围是. 　　　 由几何性质求椭圆的标准方程 [例3]　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)求经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程． [思路点拨]　(1)焦点位置不确定，分两种情况求解． (2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解． (3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系．再用待定系数法求解． 法二：设与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)． [解]　(1)若焦点在x轴上，则a＝3， ∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，则b＝3， ∵e＝＝＝＝，解得a2＝27. ∴椭圆的方程为＋＝1. ∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. (2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32， 故所求椭圆的方程为＋＝1. (3)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.将点M(1,2)代入椭圆方程得＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3. 故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． [变式训练] 3．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程． 解：法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得解得所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，则设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.综上所述，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1. 法二：设椭圆方程为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)， 则由题意得或 解得或 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1. [当堂达标] 1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　 ) A.＋＝1　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1 解析：C　[依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝，即a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此椭圆的方程是＋＝1.] 2．(多选)椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　) A．－21 B．－ C. D．21 解析：BD　[①a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，则＝，即＝，解得k＝－，②a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，则＝，即＝，解得k＝21.] 3．椭圆＋＝1焦距为　________　. 解析：由题意，m2＋12＞m2＋4，故椭圆的焦点在x轴上，∴a2＝m2＋12，b2＝m2＋4，c2＝m2＋12－(m2＋4)＝8，故焦距2c＝2×2＝4. 答案：4 4．椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的方程． 解：由题意知解得 所以b2＝a2－c2＝1，所以所求椭圆的方程为＋x2＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$