第2章 1.1 椭圆及其标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§1　椭　圆 1．1　椭圆及其标准方程 课程标准 素养解读 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题 1.通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题学习，培养学生的数学运算素养 2．借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养 [情境引入] 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础． [知识梳理] [知识点一]　椭圆的定义　 定义 平面内到两个定点F1，F2的　距离之和等于常数　(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆 焦点 两个　定点　F1，F2叫作椭圆的焦点 焦距 两焦点间的　距离　|F1F2|叫作椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距 集合语言 P＝{M|　|MF1|＋|MF2|＝2a　，2a＞|F1F2|} 　(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ [提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2. (2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． [知识点二]　椭圆的标准方程　 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(×) (2)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．(×) (3)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(√) (4)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(×) 2．设P是椭圆 ＋ ＝1上的点．若F1，F2是椭圆的两个焦点，点P到焦点F1的距离是3，则点P到另一焦点F2的距离是(　　) A．10　　 B．8　　　 C．7　　　 D．5 解析：C　[∵椭圆的方程＋＝1，∴椭圆的焦点在y轴上，a2＝25且b2＝16，可得a＝5且b＝4.∵点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10，∴根据椭圆的定义可得点P到另一个焦点的距离为10－3＝7.] 3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：C　[由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.] 4．已知椭圆中a＝5, c＝3, 焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为　____________________　. 解析：由a2＝b2＋c2，得b2＝52－32＝42＝16, 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 答案： ＋ ＝1 　　　求椭圆的标准方程 [例1]　求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10； (2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)； (3)经过两点(2，－)，. [解]　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 法一：由椭圆的定义知2a＝＋＝12， 解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：因为所求椭圆过点(4,3)，所以＋＝1. 又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由已知条件得解得 则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程， 得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (1)利用待定系数法求椭圆的标准方程 ①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a，b，c的等量关系；④求a，b的值，代入所设方程． (2)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算． [变式训练] 1．根据下列条件，求出椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26； (2)经过点P，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上． 解：(1)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． ∵2a＝26，∴a＝13.又c＝5，∴b2＝a2－c2＝144. ∴所求椭圆方程为＋＝1. (2)方法一　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵焦点在x轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1. 又椭圆经过点P，∴＋＝1， 解得b2＝3. ∴a2＝4.∴椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二　∵焦距为2，焦点在x轴上， ∴焦点坐标为(－1,0)，(1,0)． 又点P在椭圆上， ∴2a＝＋＝4， ∴a＝2，b2＝a2－c2＝3，∴椭圆的标准方程为＋＝1. 　　　椭圆标准方程的判定 [例2]　(1)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围； (2)若方程＋＝1表示椭圆，求k的取值范围． [思路点拨]　　椭圆标准方程中，分母都大于零且不相等．在解题时，不仅要注意分母都大于零，还要注意分母相等时该方程就变成了圆的方程． [解]　(1)原方程可化为＋＝1.因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以， 解得0＜k＜1.故k的取值范围是(0,1)． (2)依题意，得，解得3＜k＜5， 且k≠4.故k的取值范围是(3,4)∪(4,5)． 方程＋＝1表示椭圆的条件是m>0，n>0，m≠n； 表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m>0，n>0，m>n； 表示焦点在y轴上的椭圆的条件是m>0，n>0，m<n. [变式训练] 2．若方程 ＋ ＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．(－9,16)　　　　 B．(－9， ) C．( ,16) D. 解析：C　[依题意可得解得 <m<16，即实数m的取值范围为.] 　　　椭圆中的焦点三角形问题 [例3]　(1)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为　________　. (2)已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为　____________　. [思路点拨]　(1)→→ (2)→→→ [解析]　(1)由＋＝1，知a＝3，b＝，∴c＝. ∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2， ∴cos∠F1PF2＝＝－，∴∠F1PF2＝120°. (2)由＋＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.　① 由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.　② 由①②联立可得|PF1|＝. 所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝××2×＝. [答案]　(1)120°　(2) (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． [变式训练] 3．(1)(2023·全国甲卷(理))已知椭圆＋＝1，F1、F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. (2)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，则△F1PF2的面积是　________　. (1)解析：B　[设∠F1PF2＝2θ，0＜θ＜，所以S△PF2F1＝b2tan＝b2tan θ， 由cos∠F1PF2＝cos 2θ＝ ＝＝，解得：tan θ＝， 由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3， 所以，S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|＝×2× |yP|＝6×，解得：y＝3，即x＝9×＝，因此|OP|＝＝＝.] (2)解析：由椭圆的标准方程，知a＝，b＝2， ∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2. 在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°， 即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×16(2－)×＝8－4. 答案：8－4 　　　 利用椭圆定义求轨迹方程 [例4]　如图，一动圆过定点A(2,0)，且与定圆B：x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程． [思路点拨]　根据两圆内切的特点，得出|MA|＋|MB|＝6＞|AB|＝4，所以点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，进而求出a2，b2即可得点M的轨迹方程． [解]　设|MA|＝r.圆B方程化为(x＋2)2＋y2＝36，则B(－2,0)． ∵圆M与圆B内切， ∴|MB|＝6－r，即|MB|＋|MA|＝6(大于|AB|＝4)．∴点M轨迹是以A，B为焦点的椭圆． ∴2a＝6,2c＝4.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5. ∴圆心M的轨迹方程是＋＝1. 利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤 [变式训练] 4．在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程． 解：由题意，知点M在线段CQ上，所以|CQ|＝|MQ|＋|MC|. 因为点M在AQ的垂直平分线上， 所以|MA|＝|MQ|.所以|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5. 因为A(1,0)，C(－1,0) 所以点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5. 所以a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝. 故点M的轨迹方程为＋＝1. [当堂达标] 1．(多选)若椭圆＋＝1的焦距是2，则m＝(　　) A．1　　　 B．3　　　 C．5　　　 D．7 解析：BC　[当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4.又2c＝2，所以c＝1，所以m－4＝1，所以m＝5.当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，所以c2＝4－m＝1，所以m＝3.] 2．过点A(3，－2)且与椭圆 ＋ ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为(　　) A. ＋ ＝1　　　　 B. ＋ ＝1 C. ＋ ＝1　　　　 D. ＋ ＝1 解析：A　[由题意知c2＝5，可设椭圆方程为＋＝1(λ>0)，则＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.] 3．若方程＋＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是　________　. 解析：由方程＋＝1表示椭圆，得解得m＞且m≠1. 答案： 4．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面积． 解：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝.∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△PF1F2是直角三角形，且∠F1PF2＝90°，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×2×4＝4 学科网（北京）股份有限公司 $$