第1章 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

[知识整合·思维导图] [题型梳理·素养聚焦] [考点一]　数学运算、直观想象——直线的倾斜角与斜率　 [例1]　(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　 ) A．[0，π)　　　　　　 B.∪ C. D. ∪ (2)已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是　________　. [解析]　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α， 又－sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)， 所以0≤θ≤或≤θ＜π. (2)如图，因为kAP＝＝1， kBP＝＝－，所以直线l的斜率k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)． [答案]　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞) 斜率取值范围的2种求法 数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定 函数图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 [考点二]　数学运算、直观想象——直线的方程 　 [例2]　(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程． (2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程． [解]　(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－ (x－1)，即4x＋3y－13＝0. (2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0. 故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0. 求直线方程的方法 (1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程； (2)待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程． [考点三]　逻辑推理、直观想象——直线方程的综合问题　 [例3]　(1)(2023·天津卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 (2)求与直线y＝x＋垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线l的方程． [解析]　(1)D　[如图，因为F2(c,0)，不妨设渐近线方程为y＝x， 即bx－ay＝0，所以|PF2|＝＝＝b，所以b＝2. 设∠POF2＝θ，则tan θ＝＝＝， 所以|OP|＝a，所以|OF2|＝c. 因为ab＝c·yP，所以yP＝， 所以tan θ＝＝＝，所以xP＝， 所以P，因为F1(－c,0)， 所以kPF1＝＝＝＝＝，所以(a2＋2)＝4a，解得a＝， 所以双曲线的方程为－＝1.] (2)方法1：由直线l与直线y＝x＋垂直，可设直线方程l为y＝－x＋b，则直线l在x轴，y轴上的截距分别为x0＝b，y0＝b.又因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，所以S＝|x0||y0|＝24，即|b|＝24，b2＝36，解得b＝6或b＝－6.故所求直线方程为y＝－x＋6或y＝－x－6，即3x＋4y－24＝0或3x＋4y＋24＝0. 方法2：设直线l的方程为＋＝1，则直线的斜率k＝－.因为l与直线y＝x＋垂直，所以k＝－＝－，即＝.又因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，所以|ab|＝24，即|ab|＝48.所以a＝8，b＝6或a＝－8，b＝－6，所以直线l的方程为＋＝1或＋＝1，即3x＋4y－24＝0或3x＋4y＋24＝0. 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． (2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． [考点四]　数学运算、直观想象——两条直线的位置关系　 [例4]　已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，分别求m的值，使得： (1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2. [解]　(1)当m＝0时，l1与l2相交． 当m≠0时，若l1与l2相交，则－≠－， 解得m≠－1且m≠3.所以当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交． (2)若l1⊥l2，则1×(m－2)＋3m＝0， 解得m＝.所以当m＝时，l1⊥l2. (3)由－＝－，得m＝－1或m＝3. 当m＝－1时，l1∥l2；当m＝3时，l1与l2重合．所以当m＝－1时，l1∥l2. 利用直线的方程判定两条直线的平行与垂直关系是这部分内容常涉及的题型．求解时，可以利用斜率之间的关系判定．若方程都是一般式，知道平行或垂直关系，求参数的值时也可以用如下方法： 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)当l1∥l2时，可令A1B2－A2B1＝0，解得参数的值后，再代入方程验证，排除重合的情况； (2)当l1⊥l2时，可利用A1A2＋B1B2＝0直接求参数的值． [考点五]　数学运算、直观想象——距离公式的应用　 [例5]　已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点． (1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值． [解]　(1)经过两已知直线交点的直线系方程为2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0, 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， 所以＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝或λ＝2.所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. (2)由解得交点P(2,1)，过P作任一直线l(图略)，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．所以dmax＝|PA|＝. 距离公式的运用 (1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离． (2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合． (3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力． [考点六]　数学运算、直观想象——对称问题 [例6]　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． [解]　(1)设A′(x，y)，由已知条件得 解得 ∴A′. (2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上． 设对称点M′(a，b)，则 ，得M′. 设直线m与直线l的交点为N，则 由得N(4,3)．又m′经过点N(4,3)， ∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. (3)方法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取两点， 如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上， 易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)， 再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0. 方法二：∵l∥l′， ∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)． ∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式，得 ＝，解得C＝－9， ∴l′的方程为2x－3y－9＝0. 方法三：设P(x，y)为l′上任意一点， 则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0. (1)点关于直线对称的点的求法 点N(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)可由方程组 求得． (2)直线关于直线的对称的求法 求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线l对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程． [考点七]　数学运算、直观想象——求圆的方程　 [例7]　已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，求圆的方程． [解]　法一　设圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝10. 因为圆心在直线y＝2x上，所以b＝2a.① 由方程组得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0，所以x1＋x2＝a＋b，x1·x2＝. 由弦长公式得·＝4，化简得(a－b)2＝4.② 解①②组成的方程组，得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10. 法二　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，则圆心为(a，b)，半径r＝， 圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离d＝. 由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d2＋2＝r2，即＋8＝10，所以(a－b)2＝4. 又因为b＝2a，所以a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4. 故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10. 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为： 第一步：选择圆的方程的某一形式； 第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)； 第三步：解出a，b，r(或D，E，F)； 第四步：代入圆的方程． 注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等． [考点八]　逻辑推理、直观想象——直线与圆的位置关系 　 [例8]　已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过点M的圆的切线方程； (2)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2 ，求a的值． [解]　(1)圆心C(1,2)，半径r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0. 由题意知＝2，解得k＝. ∴圆的切线方程为y－1＝(x－3)， 即3x－4y－5＝0. 故过点M的圆的切线方程为x＝3 或3x－4y－5＝0. (2)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为， ∴2＋2＝4，解得a＝－. (1)直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线． (2)直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路： ①代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长． ②几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长l＝2.解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理． [考点九]　逻辑推理、直观想象——圆与圆的位置关系 　 [例9]　已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0. (1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？ (3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． [解]　因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m， 所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为，， (1)当两圆外切时，由＝＋，得m＝25＋10. (2)当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5，所以－＝5， 解得m＝25－10. (3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0. 故两圆的公共弦的长为2＝2. 圆与圆位置关系问题的解题策略 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． [考点十]　逻辑推理、直观想象——直线与圆的综合问题　 [例10]　已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B. (1)求圆C1的圆心坐标； (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程； (3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由． [解]　(1)因为圆C1的方程x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为(3,0)． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，M(x0，y0)， 则x0＝，y0＝. 由题意可知直线l的斜率必存在， 设直线l的方程为y＝tx. 将上述方程代入圆C1的方程， 化简得(1＋t2)x2－6x＋5＝0. 由题意，可得x1＋x2＝，Δ＝36－20(1＋t2)＞0，(*) 所以x0＝，代入直线l的方程，得y0＝. 因为x＋y＝＋＝＝＝3x0.所以2＋y＝. 由(*)解得t2＜.又t2≥0，所以＜x0≤3. 所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为2＋y2＝. (3)存在实数k满足条件．由(2)知，曲线C是在区间上的一段圆弧． 如图，D， E，F(3,0)， 直线L过定点G(4,0)． 联立直线L的方程与曲线C的方程，消去y整理得(1＋k2)x2－(3＋8k2)x＋16k2＝0.由Δ＝0，解得k＝±，由求根公式解得交点的横坐标为x＝∈， 由图可知要使直线L与曲线C只有一个交点， 则k∈∪. 故所求k的取值范围为∪. 直线与圆的综合问题的求解策略 (1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决． (2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑． [考点十一]　直观想象、数学运算——数形结合思想　 [例11]　已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动． (1)求的最大值与最小值． (2)求x2＋y2的最大值与最小值． [解]　(1)根据题意画出图形，当P与C(或D)重合时，直线BC(BD)与圆A相切， 设直线BC解析式为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0， ∴圆心(0,1)到直线BC的距离d＝r，即＝1， 解得：k＝±， ∴－≤k≤，即－≤≤， ∴的最大值与最小值分别为－，. (2)x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方，先求出圆心(0,1)到原点(0,0)的距离为1，则x2＋y2的最大值为(1＋1)2＝4，最小值为0. “数形结合”是把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们一种普遍思维习惯在数学上的具体表现．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”．形如u＝ 的最值问题，可借助图形分析转化为直线斜率的最值问题；形如t＝ax＋by的最值问题，可借助图形分析转化为动直线截距的最值问题；形如z＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可借助图形分析转化为动点到定点距离平方的最值问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$