第1章 2.4 圆与圆的位置关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

2．4　圆与圆的位置关系 课程标准 素养解读 1.理解圆与圆的位置关系的种类 2．掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系 通过圆与圆的位置关系的推导，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养 [情境引入] 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现重合的状态时发生．日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食． 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 前面我们运用直线的方程，圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系． [知识梳理] [知识点一]　圆与圆的位置关系　 两圆相交 有两个公共点 两圆相切 外切 和内切 只有一个公共点 两圆相离 外离和 内含 没有公共点 [知识点二]　圆与圆位置关系的判定　 1．几何法：圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，圆C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，两圆的圆心距d＝|O1O2|＝ ，则有 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1、r2 的关系 d＞r1 ＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜ d＜r1＋r2 d＝|r1－ r2| 0＜d＜ |r1－r2| 2.代数法： 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，两圆的方程联立得方程组，则有 方程组解的情况 2组 1组 0组 两圆的公共点 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 　外切　或　内切　 　外离　或　内含　 　将两个相交的非同心圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1,2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？ [提示]　两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×) (2)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(×) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×) (4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(√) 2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　 ) A．相离　 B．相交　 C．外切　 D．内切 解析：B　[圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝<r1＋r2＝3，即两圆相交．] 3．圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的公共弦长等于(　　) A. B. C. D. 解析：D　[联立，解得或，故公共弦长等于＝.] 4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是　________________　. 解析：(x－1)2＋(y－3)2＝20化为一般式为：x2＋y2－2x－6y－10＝0，① 又圆x2＋y2＝10，即x2＋y2－10＝0，② ①－②得：x＋3y＝0，即为直线AB的方程． 答案：x＋3y＝0 　　　圆与圆的位置关系的判断 [例1]　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？ [解]　将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝(k＜50)， 从而|C1C2|＝＝5. 当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切． 当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切． 当|－1|＜5＜1＋，即14＜k＜34时，两圆相交． |＋1|＜5，即34＜k＜50时，两圆外离． 判断圆与圆的位置关系的一般步骤 (1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)． (2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2. (3)求两圆的圆心距d. (4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系． (5)根据大小关系确定位置关系． [变式训练] 1．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有(　　) A．1条　　　　　　 B．2条 C．3条 D．4条 解析：B　[圆C1的半径r1＝2，圆心C1(－1，－1)，圆C2的半径r2＝2，圆心C2(2,1)，|C1C2|＝.由于|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，故两圆相交，因而公切线有2条．] 　　　两圆相切问题 [例2]　(1)以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为　________________　. (2)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为　________　. [思路点拨]　⇒ ⇒ [解析]　(1)设所求圆的半径为r，则＝|8－r|，所以r＝3或r＝13，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169. (2)C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1, m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5. [答案]　(1)(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169　(2)2或－5 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)． [变式训练] 2．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 解：已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1， 则圆心为C(1,0)，半径为1. 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)． 由题意，可得 解得或 即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 　　　两圆的公共弦问题 [例3]　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． [思路点拨]　(1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，再根据半径、弦心距、弦长的关系求出弦长． (2)可求出两圆的交点坐标，结合圆心在直线x－y－4＝0上求出圆心坐标与半径，也可利用圆系方程求解． [解]　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组 的解． ①－②，得x－y＋4＝0. ∵A，B两点坐标都满足此方程，∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程． 又圆C1的圆心(－3,0)，r＝， C1到直线AB的距离为d＝＝， ∴|AB|＝2＝2＝5，即两圆的公共弦长为5. (2)方法一　解方程组 得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则有 ＝， 解得a＝，故圆心为， 半径为＝. 故圆的方程为2＋2＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 方法二：∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上， ∴可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 其圆心为，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. (1)求两圆公共弦长的方法 一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解； 二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． (2)过两圆的交点的圆的方程 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)． [变式训练] 3．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为　________　. 解析：由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.又圆C3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l的距离为d＝＝，设圆C3的半径为r，由条件知，r2－d2＝－＝， 所以弦长为2×＝. 答案： [当堂达标] 1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　 ) A．x＋y＋3＝0　　　 B．2x－y－5＝0 C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0 解析：C　[AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A，B，D.] 2．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的公切线条数是　________　. 解析：C1(1,2)，r1＝2；C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此两圆外切．所以公切线有3条． 答案：3 3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝　________　. 解析：将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1. 答案：1 4．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，求圆C的方程． 解：设圆C的半径为r，圆心距为d＝ ＝5， 当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4， 当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6， ∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 学科网（北京）股份有限公司 $$