第1章 2.2 圆的一般方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

2．2　圆的一般方程 课程标准 素养解读 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径 2．会在不同条件下求圆的一般式方程 1. 通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养 2．通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养 [情境引入] 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式． 请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题． [知识梳理] [知识点一]　圆的一般方程　 1．(1)圆的一般方程的概念： 当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个圆． 称x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (其中D2＋E2－4F＞0)为圆的一般方程． (2)圆的一般方程对应的圆心和半径： 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为. 1.所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆吗？ [提示]　不是，只有当D2＋E2－4F>0时才表示圆． 2．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论 ①D2＋E2－4F＞0时表示圆． ②D2＋E2－4F＝0时表示点. ③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． [知识点二]　二元二次方程　 Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时其在代数结构上的典型特征：(1)x2，y2的系数相同，且不等于0，即A＝B≠0，(2)不含xy这样的二次项，即C＝0. 具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件． 2.方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是什么？ [提示]　A＝B≠0，C＝0且D2＋E2－4AF＞0. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(√) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．(×) (3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(√) (4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(√) 2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析：D　[－＝2，－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)．] 3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．[1，＋∞) D．(－∞，1] 解析：B　[由题意得(－4)2＋22－4×5k>0，即k<1.] 4．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为　________　. 解析：因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝＝，∴m＝. 答案： 　　　圆的一般方程的认识 [例1]　判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径． [思路点拨]　可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数． [解]　(方法1)由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2. 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝|m－2|. (方法2)原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆， 此时，圆的圆心为(2m，－m), 半径为r＝|m－2|. 二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法： (1)计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形． (2)将该方程配方为(x＋)2＋(y＋)2＝，根据圆的标准方程来判断． [变式训练] 1．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 解：(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<，故m的取值范围为(－∞，)． (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. 　　　求圆的一般方程 [例2]　已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径． [解]　法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， ∵A，B，C在圆上， ∴∴ ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴圆心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25. 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于D，E，F的方程组，求D、E、F一般步骤为： (1)根据题意，设所求的圆的标准方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2＋4F＞0)； (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组； (3)解方程组，求出D，E，F的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． [变式训练] 2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程． 解：圆心C，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2.① 又∵半径长r＝＝， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得或 又∵圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0.则 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 　　　与圆有关的轨迹方程问题 [例3]　已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． [思路点拨]　只需寻求动点与定点之间的关系，然后化简方程即可，不过要注意动点与定点间的约束条件． [解]　(1)方法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1. 又kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1， 所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)． 方法二：同方法一得x≠3且x≠－1. 由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)． 方法三：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)． (2)设点M(x，y)，点C(x0，y0) .因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝(x≠3且x≠1)，y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)． (1)求动点的轨迹方程的一般步骤为：建系、设点、列式、化简、证明．建系时可根据题目中的条件，建立适当的直角坐标系，简化运算是解题的关键． (2)求解时，重视从不同视角诠释求动点轨迹方程的步骤，注意灵活运用图形的几何性质． (3)对于“双动点”问题，若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程，则通常用代入法． [变式训练] 3．已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程． 解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)． ∴① ∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9.②，将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，顶点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)． [当堂达标] 1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　) A．一个点　　　　　 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在 解析：A　[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．] 2．(多选)若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则下列可能为m值的有(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D．1 解析：AB　[x2＋y2－x＋y＋m＝0可化为(x－)2＋(y＋)2＝－m，则－m>0，解得m<.因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m>0，即m>0，所以0<m<.对照选择项，知AB可能．] 3．已知一动点M到点A(－4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍，则动点M的轨迹方程是　__________________________　. 解析：设动点M的坐标为(x，y)，则|MA|＝2|MB|， 即＝2， 整理，得x2＋y2－8x＝0.故所求动点M的轨迹方程为x2＋y2－8x＝0. 答案：x2＋y2－8x＝0 4．求圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)、B(3，－1)的圆的一般方程． 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2＋4F＞0)，则圆心是， 由题意知 解得D＝E＝－4，F＝－2， 即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$