第1章 2.1 圆的标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§2　圆与圆的方程 2．1　圆的标准方程 课程标准 素养解读 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点 2．会根据已知条件求圆的标准方程 3．能准确判断点与圆的位置关系 通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养 [情境引入] 《古朗月行》 唐　李白 小时不识月，呼作白玉盘。 又疑瑶台镜，飞在青云端。 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面，月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？ [知识梳理] [知识点一]　圆的定义与标准方程　 1．圆的定义：圆是平面内到定点的距离　等于定长　的所有点的集合(或轨迹)，定点是　圆心　，　定长　是半径． 2．圆的标准方程： 圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程为　(x－a)2＋(y－b)2＝r2　. 　当a＝b＝0时，圆的标准方程是什么？ [提示]　当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆． [知识点二]　点与圆的位置关系　 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|. 位置关系 几何法 图示 代数法 点在圆外 d　＞　r (x0－a)2＋(y0－b)2　＞　r2 点在圆上 d　＝　r (x0－a)2＋ (y0－b)2　＝　r2 点在圆内 d　＜　r (x0－a)2＋ (y0－b)2　＜　r2 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆．(×) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(√) (3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(×) (4)(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(×) 2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是(　　) A．x2＋y2＝2　　　　　 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ 解析：B　[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.] 3．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是(　　) A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都不对 解析：B　[将点P的坐标代入圆的方程，有(－2)2＋(－2)2＝8>4，故点P在圆外．] 4．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是　____________　. 解析：线段AB的中垂线方程为y＝x，则圆心坐标(x，y)应满足∴x＝y＝1，半径r＝＝2， ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 答案：(x－1)2＋(y－1)2＝4 　　　求圆的标准方程 [例1]　求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心为(3,4)且经过坐标原点； (2)经过A(3,1)，B(－1,3)且圆心在直线3x－y－2＝0上． [思路点拨]　(1)利用两点间距离公式求出半径r，再求出圆的标椎方程． (2)法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程． [解]　(1)∵圆心(3,4)，设半径为r，又圆过坐标原点，∴r＝＝5，∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25. (2)方法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，依题意得 即解得 ∴所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10. 方法二　直线AB的斜率k＝＝－， 可知AB垂直平分线m的斜率为2. AB中点的横坐标和纵坐标分别为x＝＝1， y＝＝2. 因此m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 又圆心在直线3x－y－2＝0上，所以圆心为这两条直线的交点，联立方程组得设圆心为C，所以圆心坐标为C(2,4)．又半径r＝|CA|＝，则所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10. 方法三　设圆心为C，∵圆心在直线3x－y－2＝0上，故可设圆心C的坐标为(a,3a－2)． 又|CA|＝|CB|， 故＝， 解得a＝2，∴圆心为(2,4)，半径r＝|CA|＝. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10. 确定圆的方程的方法 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、法三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷． [变式训练] 1．求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)； (3)过点P(2，－1)和直线x－y＝1相切，并且圆心在直线y＝－2x上． 解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. (3)∵圆心在y＝－2x上，设圆心为(a，－2a)， 设圆心到直线x－y－1＝0的距离为r. ∴r＝，　① 又圆过点P(2，－1)，∴r2＝(2－a)2＋(－1＋2a)2，② 由①②得，或∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2或(x－9)2＋(y＋18)2＝338. 　　　点与圆的位置关系 [例2]　(1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．点P在圆内　　　　 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不确定 (2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是　__________　. 　　 [思路点拨]　(1)首先根据圆的方程确定圆心和半径，然后利用P到圆心的距离和圆的半径大小关系确定点与圆的位置关系；(2)首先确定圆心和半径，利用圆心到点M的距离小于半径列出不等式求解． [解析]　(1)因为(m2)2＋52＝m4＋25>24，所以点P在圆外． (2)由题意知 解得0≤a<1. [答案]　(1)B　(2)[0,1) 点与圆的位置关系及其应用 点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．判断点与圆的位置关系有两种方法：一是用圆心到该点的距离与半径比较，二是代入圆的标准方程，判断与r2的大小关系．通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围． [变式训练] 2．已知点A(1,0)，B(1,2)与圆O：x2＋y2＝4，则(　　) A．点A与点B都在圆O外 B．点A在圆O外，点B在圆O内 C．点A在圆O内，点B在圆O外 D．点A与点B都在圆O内 解析：C　[∵12＋02＜4,12＋22＞4，∴点A在圆O内，点B在圆O外．] 　　　与圆有关的最值问题 [例3]　(1)若P(x，y)为圆C：(x＋1)2＋y2＝上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值． (2)已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，求x2＋y2的最值. [解]　(1)原点到圆心C(－1,0)的距离d＝1，圆的半径为，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝. (2)由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0,0)到圆心C(－1,0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和. (1)求圆外一点到圆的最大距离和最小距离， 可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值． (2)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题． [变式训练] 3．(1)若P(x，y)是圆C：(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值． (2)已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求的最大值与最小值. 解：(1)P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，圆心C(3,0)， 圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝2，所以点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2. (2)因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，圆心C(0，－4)，半径r＝2， 因此表示点A(－1，－1)与该圆上点的距离．因为|AC|2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以点A(－1，－1)在圆外．如图所示． 而|AC|＝＝，所以的最大值为|AC|＋r＝＋2，最小值为|AC|－r＝－2. [当堂达标] 1．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝100 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25 解析：D　[∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，|AB|＝＝5为半径，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.] 2．(多选)点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值不可能是(　　) A．－2　　 B．－　　　 C.　　　 D．2 解析：AD　[因为(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以2a2＋2<4，所以a2<1，所以－1<a<1.] 3．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是　______________________________　. 解析：因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2 4．已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P，Q为直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外． 解：由已知条件及圆的性质可知，圆心M在直径PQ的中点处，∴圆心M的坐标为(0,1)， 半径r＝|QP|＝×＝5. ∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50. ∵|MA|＝＝<r，∴点A在圆内． ∵|MB|＝＝＝r，∴点B在圆上． ∵|MC|＝＝>r，∴点C在圆外． 学科网（北京）股份有限公司 $$