第1章 1.6 第1课时 两点间的距离公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

1．6　平面直角坐标系中的距离公式 第1课时　两点间的距离公式 课程标准 素养解读 1.探索并理解平面上两点间的距离公式 2．能够灵活应用平面上两点间的距离公式 通过两点间的距离公式的应用，增强数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养 [情境引入] 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行．如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ [知识梳理] [知识点一]　两点间的距离公式　 一般地，若两点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B间的距离公式，|AB|＝　　. [知识点二]　两点间距离的特殊情况　 (1)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. (2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|. (3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|. 　两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝ 的形式？ [提示]　可以，原因是＝，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内两点间的距离公式不适用于坐标轴上的点．(×) (2)当AB∥y轴(x1＝x2)时，|AB|＝|y2－y1|.(√) (3)点P1(0，a)，点P2(b,0)之间的距离为a－b.(×) (4)原点O(0,0)与任一点A(x，y)的距离|OA|＝ .(√) 2．已知A(3,7)，B(2,5)，则A，B两点间的距离为(　　) A．5　　　B.　　　C．3　　　D. 解析：B　[由平面内两点间的距离公式可知|AB|＝＝.] 3．已知过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则|MN|等于　_________　. 解析：∵过点M(－2，a)，N(a,4)的直线斜率为 k＝＝－，解得a＝10， ∴|MN|＝＝ ＝6. 答案：6 　　　两点间的距离公式 [例1]　(1)若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为(　　) A．(－2,0)　　　　　 B．(1,0) C. D．(，0) (2)直线2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离为　________　. [思路点拨]　(1)设出M点坐标(x,0)，根据两点间距离公式建立x的方程，解方程得M点坐标；(2)求直线2x＋my＋2＝0(m≠0)与x轴、y轴的交点坐标，利用两点间距离公式求解． [解析]　(1)设点M(x,0)(x＞0)，由题意可知， ＝，解得x＝.∴点M的坐标为(，0)． (2)直线2x＋my＋2＝0与x轴的交点为(－1,0)，与y轴的交点为，所以两交点之间的距离为＝(m≠0)． [答案]　(1)D　(2)(m≠0) 使用两点间距离公式要注意结构特点，公式与两点的先后顺序无关适用于任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷． [变式训练] 1．已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 解：设所求点P(x,0)，于是由|PA|＝|PB|得 ＝， 即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1. 所以，所求P点坐标为(1,0)， |PA|＝＝2. 　　　 两点间距离公式在平面几何中的应用 [例2]　已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状． [解]　法一：∵|AB|＝＝2， |AC|＝ ＝2，又|BC| ＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二：∵kAC＝＝， kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝＝2， |AB|＝＝2， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形． (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向． (2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理． [变式训练] 2．若等腰三角形ABC的顶点A(3,0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5,4)，求等腰△ABC的腰长． 解：因为|AD|＝＝2. 在Rt△ABD中，由勾股定理得|AB|＝ ＝＝2. 所以等腰△ABC的腰长为2. 　　　应用两点间距离公式求最值 [例3]　已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)． (1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小，并求出这个最小值； (2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大，并求出这个最大值． [思路点拨]　(1)利用对称性求点A(2,0)关于直线l的对称点A′，则|A′B|即为所求最小值． (2)利用||PB|－|PA||≤|AB|知，当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|. [解]　(1)设A(2,0)关于直线l的对称点为A′(m，n)，则 解得故A′(－2,8)． P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，由 得故所求的点P的坐标为(－2,3)，最小值为|A′B|＝|8－(－4)|＝12. (2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，解得故所求的点P的坐标为(12,10)，最大值为|AB|＝＝4. 利用坐标平面内两点间的距离公式可以求平面上两个式子的和或差的最小值或最大值．先利用式子的几何意义和对称思想，转化为两点之间的距离，再利用两点间的距离公式求值． [变式训练] 3．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： 可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝ ＋ 的最小值为　________　. 解析：∵f(x)＝＋＝＋， ∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和．设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，则A′为(－2，－4)． 要求f(x)的最小值，可转化为|MA|＋|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，即f(x)＝ ＋的最小值为5. 答案：5 [当堂达标] 1．在直角坐标系中，已知点A(1，－2)，B(－2,2)，则A，B两点间的距离为(　　) A.　　　　　 B．5 C. D．25 解析：B　[|AB|＝＝＝5.] 2．在△ABC中，已知点A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是(　　) A．2 B．3 C. D. 解析：C　[BC边的中点D，由两点之间的距离公式可得|AD|＝＝.] 3．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5 解析：C　[由|AB|＝＝5，可知(a＋2)2＝9.∴a＝1或－5.] 4．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则＝　________　. 解析：由两点间的距离公式，得|AC|＝ ＝4， |CB|＝＝2，故＝＝2. 答案：2 5．已知点A(－1,2)，B(2,5)，求AB的垂直平分线方程． 解：直线AB的斜率k＝＝1，AB中点坐标为，点斜式得所求直线方程为y－＝x－，即x－y＋3＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$