第1章 1.5 两条直线的交点坐标-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

1．5　两条直线的交点坐标 课程标准 素养解读 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系 通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养 [情境引入] 在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，本节课我们学习的主要问题是两条直线的交点坐标 [知识梳理] [知识点一]　两直线的交点　 已知两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)两条直线l1，l2 交点的坐标就是两个方程的公共解，可通过求方程组 得到两条直线l1，l2 交点的坐标． (2)若两直线方程组成的方程组 有唯一解 则两条直线　相交　，交点坐标为(x0，y0)． [知识点二]　两直线的位置关系　 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 两直线有公共点，两直线一定相交吗？ 提示：不一定，若两直线有无数个公共点，则两直线重合，当两直线有唯一公共点时，两直线才相交 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(√) (2)若两直线的斜率都存在且不等，则两直线相交．(√) (3)两直线的斜率一个存在，另一个不存在时，两直线也相交(√) (4)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(×) 2．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是(　　) A．(2,2)　　　　 B．(1,1) C．(1,2) D．(2,1) 解析：C　[由得交点坐标为(1,2)．] 3．直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是(　　) A．平行　　　　　 B．重合 C．相交 D．不确定 解析：C　[∵k1＝，k2＝－，∴k1≠k2，∴两直线相交．] 4．不论a为何实数，直线l：(a＋2)x－(a＋1)y＝2－a恒过一定点，则此定点的坐标为　________　. 解析：直线可化为a(x－y＋1)＋2x－y－2＝0，由得定点坐标为(3,4)． 答案：(3,4) 　　　两直线的交点问题 [例1]　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. [解]　(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． [变式训练] 1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 解：(1)解方程组，得 所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. 　　　 经过两条直线交点的直线方程 [例2]　(1)求经过点P(1,0)和两直线l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0交点的直线方程； (2)无论实数a取何值，方程(a－1)x－y＋2a－1＝0表示的直线恒过定点，试求该定点． [思路点拨]　(1)设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0，再将x＝1，y＝0代入求出λ，即得所求直线方程． (2)将直线方程改写为－x－y－1＋a(x＋2)＝0. 解方程组得直线所过定点． [解]　(1)设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0. ∵点P(1,0)在直线上，∴1－2＋λ(3＋2)＝0. ∴λ＝.∴所求方程为x＋2y－2＋(3x－2y＋2)＝0，即x＋y－1＝0. (2)由(a－1)x－y＋2a－1＝0，得－x－y－1＋a(x＋2)＝0.所以，已知直线恒过直线－x－y－1＝0与直线x＋2＝0的交点． 解方程组得 所以方程(a－1)x－y＋2a－1＝0表示的直线恒过定点(－2,1)． 利用直线系方程求直线的方程 经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(它不能表示直线l2)．反之，当直线的方程写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0时，直线一定过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点． [变式训练] 2．(1)已知直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　) A．2x＋y＝0　　　 B．2x－y＝0 C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0 (2)求证：无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标． 解析：(1)B　[(方法1)解方程组得交点为(－1，－2)．又直线l经过原点，由两点式得其方程为＝，即2x－y＝0. (方法2)设直线l的方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，因其过原点，所以8＋(－λ)＝0，λ＝8，直线l的方程为2x－y＝0.] (2)法一：　当k＝1时，直线方程为x＝1. 当k＝0时，直线方程为x＋y＝0. 由得交点P(1，－1)，将P(1，－1)代入原方程左边得k＋1－(k－1)×(－1)－2k＝k＋1＋k－1－2k＝0，即点P的坐标总适合直线方程． ∴无论k取何实数，点P(1，－1)总在直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0上． 法二：将原方程化为k(x－y－2)＋x＋y＝0， 要使其对任意实数k恒成立， 则有∴ ∴不论k为何实数，原直线都过定点(1，－1)． 　　　与直线有关的对称问题 [例3]　求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程． [思路点拨]　思路一，直线l2过直线l1与直线l的交点，再在直线l1上取一点，求出该点关于直线l的对称点从而得解；思路二，设M(x0，y0)是直线l1上任意一点，它关于直线l的对称点为N(x，y)，利用直线l垂直平分线段MN求解． [解]　方法一　解方程组得直线l1与直线l的交点A. 在直线l1上取一点B(2,0)， 设点B关于直线l的对称点为C(x，y)， 则解得即C(－2,4)． 又直线l2过A和C(－2,4)两点， 故由两点式得直线l2的方程为＝， 即x＋2y－6＝0. 方法二　设M(x0，y0)是直线l1上任意一点，它关于直线l的对称点为N(x，y)，则线段MN的中点坐标为，直线MN的斜率为. 由题意，得 解得 因为M(x0，y0)在直线l1上， 所以2x0＋y0－4＝0，即2(y－2)＋(x＋2)－4＝0， 所以直线l2的方程为x＋2y－6＝0. 解决对称问题的方法 (1)中心对称 ①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点 P′(x′，y′)满足 ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称 ①点Q(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为Q′(m，n)， 则有 ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． [变式训练] 3．试求直线l1：x－y－2＝0关于直线l2：3x－y＋3＝0对称的直线l的方程． 解：设所求直线l上一点P(x，y)，则在直线l1上必存在一点Q(x0，y0)与点P关于直线l2对称． 由题设知PQ与直线l2垂直，且线段PQ的中点 M在直线l2上． ∴ 变形得 代入直线l1：x－y－2＝0， 得－－2＝0， 整理得7x＋y＋22＝0. ∴所求直线方程为7x＋y＋22＝0. [当堂达标] 1．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点是(　　) A．(5,2) B．(2,3) C. D．(5,9) 解析：B　[(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0可化为k(2x－y－1)－x－3y＋11＝0，由得即直线恒过定点(2,3)．] 2．(多选)当0＜k＜时，直线l1：kx－y－k＋1＝0与直线l2：ky－x－2k＝0的交点可能是(　　) A．(2,3) B．(1,2) C. D. 解析：CD　[由得把各个选项代入验证即可．] 3．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线方程为(　　) A．19x－9y＝0　　　　 B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0 解析：D　[联立直线l1，l2的方程 解得即直线l1与l2的交点为，故所求的直线方程为y＝－x，即3x＋19y＝0.] 4．直线l1：x＋by＝1与直线l2：x－y＝a的交点坐标为(0,2)，则a＝　________　，b＝　________　. 解析：将点(0,2)代入直线x＋by＝1，解得b＝，在将点(0.2)代入直线x－y＝a，解得a＝－2， 答案：－2； 5．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，求反射光线所在直线的方程． 解：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′， 所以解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)， 所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$