第1章 1.4 两条直线的平行与垂直-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

1．4　两条直线的平行与垂直 课程标准 素养解读 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件 2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直 3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题 通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养 [情境引入] 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理．过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？ [知识梳理] [知识点一]　两条直线平行　 两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2) 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2≠ α1＝α2＝ 对应关系 l1∥l2⇔　k1＝k2　 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示 1.如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？ [提示]　不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等． [知识点二]　两条直线垂直　 两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率　不存在　，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2. 图示 2.如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？ [提示]　不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，若两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．(×) (2)若l1∥l2，则k1＝k2.(×) (3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．(×) (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．(√) 2．经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l1与直线l2y＝－x＋1平行，则实数x的值为(　　) A．0　　 B．－6　　　 C．6　　　 D．3 解析：C　[直线l1的斜率k1＝＝，由题意可知＝－1，∴x＝6.] 3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 解析：C　[由于直线x－2y－2＝0的斜率为， 故所求直线的斜率等于－2，故所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.] 4．已知直线l1经过点(4,5)且与直线l2：mx－my＋1＝0(m≠0)平行，则直线l1的一般式方程为　_________________________　. 解析：∵直线l2：mx－my＋1＝0(m≠0)， ∴直线l2：y＝x＋(m≠0) ∴kl2＝1，又∵直线l1经过点(4,5)且与直线l2：mx－my＋1＝0(m≠0)平行， ∴直线l1：y－5＝x－4，即x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0 　　　两条直线平行与垂直的判定 [例1]　判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由． (1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0； (3)l1：x＝2，l2：x＝4； (4)l1：y＝－3，l2：x＝1. [思路点拨]　斜率存在的直线求出斜率，利用l1∥l2⇔k1＝k2或k1k2＝－1进行判断，若两直线斜率都不存在或其中一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，可通过观察并结合图形得出结论． [解]　(1)将两直线方程分别化为斜截式： l1：y＝－x＋，l2：y＝－x－. 则k1＝－，b1＝，k2＝－，b2＝－. ∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2. (2)将两直线方程分别化为斜截式： l1：y＝x＋，l2：y＝－2x＋2. 则k1＝，k2＝－2.∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2. (3)由方程知l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两直线在x轴上的截距不相等，则l1∥l2. (4)由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2. 已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法 (1)若两直线l1与l2的斜率均存在，当k1·k2＝－1时，l1⊥l2；当k1＝k2，且它们在y轴上的截距不相等时，l1∥l2； (2)若两直线斜率均不存在，且在x轴的截距不相等，则它们平行； (3)若有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则它们垂直． [变式训练] 1．已知A(0，－1)，B(－2a,0)，C(1,1)，D(2,4)，若直线AB与直线CD垂直，则a的值为　________　. 解析：∵kCD＝＝3，kAB＝，AB⊥CD，∴kAB·kCD＝×3＝－1，解得a＝. 答案： 2．直线l1：2x＋3y－2＝0，l2：2x＋3y＋2＝0的位置关系是(　　) A．垂直　　　　 B．平行 C．相交 D．重合 解析：B　[∵k1＝－，b1＝，k2＝－， b2＝－，∴k1＝k2且b1≠b2，∴l1∥l2.] 　　　 利用平行、垂直关系求直线方程 [例2]　已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0. 求：(1)过点A和直线l平行的直线方程； (2)过点A和直线l垂直的直线方程． [思路点拨]　 法一：由直线l：3x＋4y－20＝0.求其斜率，再求与其平行和垂直的直线的斜率，由点斜式求方程；法二：设直线系3x＋4y＋m＝0和4x－3y＋m＝0.利用待定系数法求解． [解]　法一：(1)由l：3x＋4y－20＝0，得kl＝.设过A点且平行于l的直线为l1，则kl1＝kl＝－，所以l1的方程为y－2＝－(x－2)，即3x＋4y－14＝0. (2)设过点A与l垂直的直线为l2. 因为kl·kl2＝－1，所以kl2＝，故直线l2的方程为y－2＝(x－2)，即4x－3y－2＝0. 法二：(1)设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0.由点A(2,2)在直线l1上，得3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14，故直线l1的方程为3x＋4y－14＝0. (2)设过点A与l垂直的直线l2的方程为4x－3y＋m＝0.因为l2经过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2，故l2的方程为4x－3y－2＝0. 过点A(x0，y0)且与直线Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程的求法有两种方法： (1)先求斜率(斜率存在时)，再用点斜式求直线方程． (2)与Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)或Bx－Ay＋m＝0，再利用所求直线过点A(x0，y0)求出m，便可得到直线方程． [变式训练] 3．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是(　　) A．2x－3y＋5＝0 B．2x－3y＋8＝0 C．3x＋2y－1＝0 D．3x＋2y＋7＝0 解析：C　[设直线l的方程为3x＋2y＋C＝0，将点(－1,2)代入得－3＋4＋C＝0，∴C＝－1，∴直线l的方程为3x＋2y－1＝0.] 4．过点(－1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 解析：B　[设直线方程为x－2y＋C＝0(C≠－2)，将(－1,0)代入上式，得C＝1，所求方程为x－2y＋1＝0.] 　　　由两直线的位置关系求参数 [例3]　(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ [解]　(1)方法一　 ①当m＝0时，显然l1与l2不平行． ②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠.解得m＝2或m＝－3.∴m的值为2或－3. 方法二　 令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2. 当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然l1与l2不重合，∴l1∥l2. 同理当m＝2时，l1∶2x＋3y＋4＝0，l2∶2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2，∴m的值为2或－3. (2)方法一　由题意，直线l1⊥l2， ①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直． ②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直． ③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－，当l1⊥l2时，k1·k2＝－1， 即·＝－1，所以a＝－1. 综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 方法二　由直线l1⊥l2， 得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， 解得a＝±1. 将a＝±1代入方程，均满足题意．故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 一般式方程的两直线位置关系的表示 直线方程 l1∶A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2∶A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝ ≠ (A2B2C2≠0) 或 [变式训练] 5．(1)当m为何值时，直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，互相平行？. (2)当a为何值时，直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.互相垂直？ 解：(1)∵直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， ∴A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3， C2＝2m. 若l1∥l2，则有 即 即即 ∴m＝－1.故当m＝－1时，直线l1与l2平行． (2)由a×1＋2×(a－1)＝0，解得a＝.∴当l1⊥l2时，a的值为. 　　　 两直线平行与垂直的综合应用 [例4]　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状． [解]　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图： 由斜率公式可得 kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3， kBC＝＝－， ∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD. 由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行．又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，∴AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形． (1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定． (2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形． (3)明确运算对象，探究运算思路，是对数学运算的数学核心素养的考查． [变式训练] 6．已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5,2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．(A，B，C，D按逆时针方向排列) 解：①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)， 由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)． ②若∠A＝∠B＝90°，如图(2)． 设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝，kAB＝. 由AD∥BC，得kAD＝kBC，即＝－3；① 由AB⊥BC，得kAB·kBC＝－1，即·(－3)＝－1.② 由①②得故A. 综上所述，A点坐标为(1，－1)或. [当堂达标] 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2 B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1 C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定垂直于x轴 D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行 解析：CD　[对A，两直线倾斜角相等，可能重合；对B，若l1⊥l2，l1与l2中可能一条斜率不存在，另一条斜率为0；对C，若直线斜率不存在，直线一定垂直于x轴，正确；对D，若两条直线斜率不相等，则两条直线一定不平行， D正确．] 2．己知直线l1：x＋y＋2＝0与l2：x－y－1＝0，则这两条直线的位置关系是(　　) A．重合　　　　　 B．平行 C．垂直 D．不能确定 解析：C　[因为直线l1：x＋y＋2＝0的斜率为：k1＝－1，直线l2：x－y－1＝0的斜率为k2＝1，所以k1·k2＝－1，所以这两条直线的位置关系是垂直．] 3．平行于直线4x＋3y－3＝0，且不过第一象限的直线的方程是(　　) A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 解析：B　[平行于直线4x＋3y－3＝0的直线具有形式4x＋3y＋c＝0，故排除A、D.但选项C中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件，故应选B.] 4．已知直线l1：(m＋2)x＋(m＋3)y－5＝0和l2：6x＋(2m－1)y－5＝0，问实数m为何值时，分别有： (1)l1∥l2？(2) l1⊥l2? 解： (1)∵直线l1：(m＋2)x＋(m＋3)y－5＝0， l2∶6x＋(2m－1)y－5＝0，l1与l2平行， ∴＝≠，解得m＝－. (2)∵直线l1：(m＋2)x＋(m＋3)y－5＝0， l2：6x＋(2m－1)y－5＝0， l1⊥l2，∴(m＋2)×6＋(m＋3)(2m－1)＝0，解得m＝－1或m＝－9. 学科网（北京）股份有限公司 $$