第1章 1.3 第2课时 直线方程的两点式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

第2课时　直线方程的两点式 课程标准 素养解读 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围 2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围 3．会熟练应用两点式、截距式方程求直线的方程 1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学素养 2．通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学素养 [情境引入] 我们知道在直角坐标系内确定一条直线的几何要素：点和倾斜角(斜率)，即已知直线上的一点和直线的斜率可以确定一条直线，或已知两点也可以确定一条直线。这样，在直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程。若给定直线上两点P1(x1，y1)P2(x2，y2)，你能否得出直线的方程呢？ [知识梳理] [知识点一]　直线的两点式方程　 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两点式 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)， 其中x1≠x2，y1≠y2 ＝ 斜率存在且不为0 1.过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ [提示]　不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． [知识点二]　直线的截距式方程　 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 ＋＝1 斜率存在且不为0，不过原点 2.方程－＝1和＋＝－1都是直线的截距式方程吗？ [提示]　都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．(×) (2)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．(√) (3)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(√) (4)直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.(√) 2．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是(　　) A．x＋y＋1＝0　　　 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0 解析：D　[过点A，B的直线方程为＝，即x－y－1＝0.] 3．过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是(　　) A.＋＝0 B.－＝0 C.＋＝1 D.－＝1 解析：C　[由截距式得，所求直线的方程为＋＝1.] 4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为　________　. 解析：直线方程为＝，化为截距式为＋＝1，则在x轴上的截距为－. 答案：－ 　　　直线的两点式方程 [例1]　已知三角形的三个顶点A(－4,0)，B(0，－3)，C(－2,1)，求： (1)BC边所在的直线方程； (2)BC边上中线所在的直线方程． [思路点拨]　已知直线上两个点的坐标，可以利用两点式写出直线的方程． [解]　(1)直线BC过点B(0，－3)，C(－2,1)，由两点式方程得＝，化简得2x＋y＋3＝0. (2)由中点坐标公式，得BC的中点D的坐标为(，)，即D(－1，－1)． 又直线AD过点A(－4,0)，由两点式方程得＝，化简得x＋3y＋4＝0. 两点式方程的应用 用两点式方程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时，不能用两点式．已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程． [变式训练] 1．求经过下列两点的直线方程： (1)A(5,4)，B(4,3)； (2)A(2,1)，B(3,1)； (3)A(2,1)，B(2，－1)． 解：(1)由两点式，得所求方程为＝， 即x－y－1＝0. (2)由于A，B两点的纵坐标相等，故不能用两点式，所求的直线方程为y＝1. (3)由于A，B两点的横坐标相等，故不能用两点式，所求的直线方程为x＝2. 　　　直线的截距式方程 [例2]　求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程． [思路点拨] [解]　法一：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b. ①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1， 若a＝b，则a＝b＝1，直线l的方程为x＋y－1＝0. 若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线l的方程为x－y－7＝0. ②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线l的方程为3x＋4y＝0. 综上知，所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0. 法二：设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)， 令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝. ∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等． ∴|－4k－3|＝，解得k＝1或k＝－1或k＝－.∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0. 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． [变式训练] 2．(1)求在x，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程； (2)求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 解：(1)根据直线方程的截距式，得直线方程为＋＝1，化简得4x－3y＋12＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1. 又因为l过点A(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1.所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0.当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，直线的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 　　　直线方程的综合应用 [例3]　已知直线l过点M(1,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求： (1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程； (2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程． [解]　(1)设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)． 设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. (2)设直线l的斜率为k，则k<0，直线l的方程为y－1＝k(x－1)，则A，B(0,1－k)， 所以|MA|2＋|MB|2＝2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋≥2＋2＝4， 当且仅当k2＝，即k＝－1时等号成立，此时直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. [思路点拨]　(1)设出直线的截距式方程＋＝1，利用a，b表示出|OB|＋|OA|，用基本不等式求解．(2)设出直线l的方程y－1＝k(x－1)，求出截距，表示出|MB|2＋|MA|2，用基本不等式求解． 直线方程综合问题的两大类型及解法 (1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决． (2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决． [变式训练] 3．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为(　　) A．1　　　 B．2　　　　 C．4　　　　 D．8 解析：C　[∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，∴a＋b＝ab，即＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当a＝b＝2时上式等号成立． ∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.] [当堂达标] 1．过A(0,3)，B(－2,0)两点的直线的截距式方程为(　　) A.＋＝1　　　　 B. ＋ ＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：D　[由于直线过A(0,3)，B(－2,0)两点，∴直线在x轴，y轴上的截距分别为－2,3，由截距式可知，方程为 ＋ ＝1.] 2．(多选)已知直线l过点(1,2)，且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等的直线方程可能是下列(　　) A．2x－y＝0 B．x＋y＝3 C．x－2y＝0 D．x－y＋1＝0 解析：ABD　[由题意设所求直线的横截距为a，(1)当a＝0时，由题意可设直线的方程为y＝kx，将(1,2)代入可得k＝2，∴直线的方程为2x－y＝0； (2)当a≠0时，由截距式方程可得直线的方程为＋＝1(截距相等)或＋＝1(截距相反)，将(1,2)代入可得a＝3或a＝－1，∴直线的方程为x＋y＝3或x－y＋1＝0.] 3．求经过A(1,2)，B(3,4)两点的直线方程　___________　. 解析：直线方程为＝，即x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0 4．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程． 解：设直线方程的截距式为＋＝1.则＋＝1，解得a＝2或a＝1， 则直线方程是＋＝1或＋＝1， 即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$