第1章 1.3 第1课时 直线方程的点斜式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

1．3 直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式　 课程标准 素养解读 1.了解直线方程的点斜式的推导过程 2．掌握直线方程的点斜式并会应用 3．了解截距的概念，了解直线的斜截式方程与一次函数的关系 通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学素养. [情境引入] 笛卡尔出生于法国，毕业于普瓦捷大学，法国著名哲学家、物理学家、数学家，被黑格尔称为“近代哲学之父”． 笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的．依照这种思想他创立了“解析几何学”． 我们知道给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样，在平面直角坐标系中给定一个点P0(x0，y0)和斜率k就能唯一确定一条直线，也就是说这条直线上任意一点坐标(x，y)与点P0的坐标(x0，y0)和斜率k之间的关系是完全确定的，那么这一关系如何表示呢？ [知识梳理] [知识点一]　直线l的方程的概念　 一般地，如果一条直线l上　每一点　的坐标都是一个方程的解并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程 [知识点二]　直线的点斜式方程和斜截式方程　 名称 点斜式 斜截式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距　b　 图示 方程 y－y0＝　k(x－x0)　 　y＝kx＋b　 适用范围 斜率存在 特别地：(1)当直线的斜率为0，即k＝0时，直线l与x轴平行(或重合)直线l方程为y＝ y0 (2)当直线与x轴垂直时，则直线的斜率不存在，直线l的方程为x＝x0. 　直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ [提示]　不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线．(×) (2) ＝k与y－y0＝k(x－x0)都是直线的点斜式方程．(×) (3)直线的斜截式方程y＝kx＋b即为一次函数的解析式．(×) (4)直线的纵截距是直线与y轴交点的纵坐标．(√) 2．过点P(－2,0)，斜率为3的直线的方程是(　　) A．y＝3x－2　　　 B．y＝3x＋2 C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2) 解析：D　[由直线的点斜式方程可知，该直线方程为y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)，选D.] 3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1 解析：D　[由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上截距为－1，故直线方程为y＝－x－1，选D.] 4．无论k取何值，直线y－2＝k(x＋1)所过的定点是　________　. 答案：(－1,2) 　　　直线的点斜式方程 [例1]　根据下列条件，求直线的方程： (1)经过点A(2,5)，斜率是4； (2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°； (3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行； (4)经过点D(1,1)，与x轴垂直． [思路点拨]　若直线的斜率存在，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)；若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝x0. [解]　(1)由点斜式方程可知，所求直线的方程为y－5＝4(x－2)，即4x－y－3＝0. (2)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan 45°＝1， ∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0. (3)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0， ∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1. (4)∵直线与x轴垂直，斜率不存在，∴不能用点斜式表示这条直线的方程，由于直线所有点的横坐标都是1，故这条直线方程为x＝1. 利用点斜式求直线方程的方法 (1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标．注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程； (2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程． 特别注意：斜率不存在时，可直接写出过点(x0，y0)的直线方程x＝x0. [变式训练] 1．根据条件写出下列直线方程的点斜式． (1)经过点A(－1,4)，倾斜角为45°； (2)经过原点，倾斜角为60°； (3)经过点D(－1,1)，倾斜角为0°. 解：(1)直线斜率为tan 45°＝1， ∴直线方程为y－4＝x＋1. (2)直线斜率为tan 60°＝，∴所求直线的方程为y－0＝(x－0)． (3)直线斜率为0，∴直线方程为y－1＝0×(x＋1)． 　　　直线的斜截式方程 [例2]　求满足下列条件的直线方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距为－1； (2)倾斜角为直线y＝ x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2； [思路点拨]　　根据条件确定直线的斜率及直线在y轴上的截距，代入斜截式即可． [解]　(1)由题意得k＝2，b＝－1，由斜截式得y＝2x－1. (2)∵y＝x＋1的斜率为，∴其倾斜角为60°，故所求直线的倾斜角为30°，∴k＝tan 30°＝，又b＝－2，∴所求直线方程为y＝x－2. 斜截式方程的求法 已知直线的斜率与y轴上的截距，可直接写出直线的方程；已知直线的斜截式方程，可得直线的斜率与y轴上的截距．直线的斜截式方程形式简单，特点明显，是运用较多的直线方程的形式之一． [变式训练] 2．(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程； (2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线的斜截式方程； (3)已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率，在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标． 解：(1)易知k＝－1，b＝－2，故直线的斜截式方程为 y＝－x－2. (2)由于直线的斜率k＝－，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－(x－6)，化成斜截式为y＝－x＋4. (3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)． 　　　点斜式、斜截式的应用 [例3]　已知直线l经过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程． [思路点拨]　利用点斜式设出方程，求出纵横截距，利用三角形的面积为4列方程求解． [解]　显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，令x＝0，得y＝2k＋3，令y＝0，得x＝－－2，于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为＝4， 即(2k＋3)＝±8. 若(2k＋3)＝8，则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解．若(2k＋3)＝－8，则整理得4k2＋20k＋9＝0，解之，得k＝－或k＝－. 所以直线l的方程为y－3＝－(x＋2)或y－3＝－(x＋2)，即y＝－x＋2或y＝－x－6. 求解与直线方程有关的三角形面积问题，应先设出斜率，写出直线方程，通过直线的纵、横截距列方程或建立目标函数，求解． [变式训练] 3．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程． 解：由题意知，直线l的斜率k存在且k<0，则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，且有A，B(0,2－3k)， ∴S△ABO＝(2－3k)＝≥＝×(12＋12)＝12，当且仅当－9k＝且k<0，即k＝－时，等号成立．即△ABO的面积的最小值为12.故所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0. [当堂达标] 1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 解析：C　[方程可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以直线过点(－1，－2)，斜率为－1.选C.] 2．直线y＝kx＋b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则k，b满足(　　) A．k＞0，b＞0　 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0 解析：B　[由题图可知直线的倾斜角为钝角，且直线在y轴上的截距为负值，故k<0，b<0.] 3．倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是　________　. 解析：∵直线的倾斜角是60°，∴其斜率k＝tan 60°＝，∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距是3或－3，∴所求直线的斜截式方程是y＝x＋3或y＝x－3. 答案：y＝x＋3或y＝x－3 4．直线l经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝x＋的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程． 解：直线y＝x＋的斜率k＝， 则其倾斜角α＝60°，所以直线l的倾斜角为120°. 直线l的斜率为k′＝tan 120°＝－. 所以直线l的点斜式方程为y－4＝－(x－3)． 学科网（北京）股份有限公司 $$