第1章 1.1 一次函数的图象与直线的方程&1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§1　直线与直线的方程 1．1　一次函数的图象与直线的方程 1．2　直线的倾斜角、斜率及其关系 课程标准 素养解读 1.在平面直角坐标系中，结合一次函数的图象，探索直线方程的建立 2．理解并掌握直线的倾斜角和斜率的概念 3．理解并掌握直线的斜率与倾斜角、方向向量的对应关系 1.通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养 2．通过直线的斜率、方向向量的的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养 [情境引入] 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝＝.k>0表示上坡，k<0表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ [知识梳理] [知识点一]　一次函数的图象与直线的方程　 一般地，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，它是以满足y＝kx＋b的每一对x, y值为坐标的点构成的，同时函数解析式y＝kx＋b可以看作二元一次方程。 [知识点二]　直线的倾斜角　 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角 规定 当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为　0　　 记法 α 图示 范围 [0，π) 作用 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线的　倾斜程度　　，倾斜角越接近 ，　倾斜程度　越大 1.如图中标的倾斜角α对不对？ [提示]　都不对． [知识点三]　直线的斜率　 如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记Δx＝x2－x1(Δx　≠　0)，Δy＝y2－y1，则在直线l上点P1平移到点P2，相当于在横轴上改变了Δx，即横坐标的改变量为Δx，在纵轴上改变了Δy，即纵坐标的改变量为Δy.因此，比值k＝ 反映了直线l的倾斜程度． 由图可知，k＝ 的大小与两点P1，P2在直线上的位置无关，称k＝　　(其中x1　≠　x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． 2.所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？ [提示]　不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°. [知识点四]　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系　 1．由正切函数的概念可知，倾斜角不是 的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足k＝　tan__α　(其中α≠ ,0≤α＜π)． 2．结合正切函数的图象与性质，发现斜率k与倾斜角α有如下关系： 图示 倾斜角 (范围) α＝0 α＝ 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3．如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．由平面向量的知识可知，向量是直线l的方向向量，它的坐标是　(x2－x1，y2－y1)　，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度，它们之间的关系是k＝ ＝tan α(其中x1≠x2)． 若k是直线l的斜率，则v＝(1，　k　)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝ . 3.在同一直线(与x轴不重合)上任意取不同的两点的坐标计算的斜率都相等吗？ [提示]　相等．对于一条直线来说其斜率是一个定值，与所选择点的位置无关，所以取任意不同的两点的坐标计算同一条直线的斜率一定相等． 4．设l是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45°，你能写出该直线的方向向量吗？ [提示]　(1,1)． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法．(×) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(×) (3)一个倾斜角α不能确定一条直线．(√) (4)斜率公式与两点的顺序无关．(√) (5)直线的方向向量与法向量不唯一．(√) 2．如图所示，直线l的倾斜角为(　　) A．45°　　B．135°　　C．0°　　D．不存在 解析：B　[由倾斜角的定义知直线l的倾斜角为135°.] 3．直线l经过点A(2,1)和B(－5，－2)，则直线l的一个方向向量为　________　. 解析：[＝(－5－2，－2－1)＝(－7，－3)．] 答案：(－7，－3) 4．一条直线的斜率等于1，则此直线的倾斜角等于　________　. 解析：∵k＝tan α＝1.∴α＝45°. 答案：45° 　　　直线的倾斜角 [例1]　已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？ [思路点拨]　画草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角 [解]　由题意画出草图．由图可知： 当α为钝角时，倾斜角为α－90°， 当α为锐角时，倾斜角为α＋90°， 当α为直角时，倾斜角为0°. 综上，直线l转动前的倾斜角为 　求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [变式训练] 1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α　　　　　　　　　　 B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 解析：D　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. ] 　　　斜率的计算 [例2]　(1)已知直线l过点A(－1，)，B(2，m)两点，若直线l的倾斜角是，则m＝(　　) A．－2　 B．0　　 C．2　　 D．4 (2)一条直线过点A(1.0)和B(－2,3)，则该直线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．150° [解析]　(1)设直线l的斜率为k，则k＝＝ tan＝－，故m＝－2. (2)一条直线过点A(1,0)和B(－2,3)，则该直线的斜率为＝－1，故该直线的倾斜角为135°. [答案]　(1)A　(2)C [思路点拨]　(1)根据条件，由斜率公式得到关于m的方程，再求出m的值． (2)由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的倾斜角． 直线斜率的计算方法 (1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在． (2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝(其中x1≠x2)进行计算． [变式训练] 2．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m,1)． (1)当m为何值时，直线l的斜率是1? (2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？ 解：(1)kMN＝＝1，解得m＝. (2)l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1. 　　　 直线倾斜角与斜率、方向向量的关系 [例3]　已知直线l通过点A(1,2)，B(4,5)，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率与倾斜角． [思路点拨]　利用方向向量定义＝(x2－x1，y2－y1)求解 [解]　＝(4－1,5－2)＝(3,3)是直线l的一个方向向量．因此直线的斜率k＝1，直线的倾斜角θ满足tan θ＝1，从而可知θ＝45°. 求方向向量的方法 (1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上的两个不同的点，则直线l的方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)． (2)直线的方向向量不唯一． [变式训练] 3．已知直线l经过点M(3,3)和N(2,3＋)，求直线l的一个方向向量和法向量，并求直线l的斜率和倾斜角． 解：＝(2－3,3＋－3)＝(－1，)，∴直线l的一个方向向量为(－1，)，由于法向量与方向向量垂直．∴法向量v＝(，1)，斜率k＝＝－，由tan θ＝－知θ＝120°. 　　　 直线倾斜角与斜率的综合 [例4]　(1)已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． ①求直线l的斜率k的取值范围； ②求直线l的倾斜角α的取值范围． (2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值． [思路点拨] (1) (2)已知直线l的倾斜角，可以求出其斜率，又点P1，P2，P3均在直线l上，故任意两点连线的斜率均等于直线l的斜率，从而可以解出x2，y1的值． [解]　(1)如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. ①要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1. ②由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. (2)∵α＝45°，∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1. ∵点P1，P2，P3都在直线l上，∴kP1P2＝kP2P3 ∴＝＝1，解得x2＝7，y1＝0. (1)求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围． (2)利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在． (3)的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题． [变式训练] 4．(1)设点A(3，－5)，B(－2，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．(－∞，－3 ]∪[1，＋∞)　　　 B. [－3,1] C．[－1,3] D．以上都不对 (2)已知点A(1,1)，B(0，－1)，C(a，b)在同一直线上，则2a－b＝　____________　. (1)A　[如图所示， 直线PB，PA的斜率分别为kPB＝1，kPA＝－3， 结合图形可知k≥1或k≤－3.] (2)解析：三点A(1,1)，B(0，－1)，C(a，b)在同一直线上，∴kAB＝kBC，∴＝，化为：2a－b＝1.故答案为：1. 答案：1 [当堂达标] 1．过点A(－，)与点B(－，)的直线的倾斜角为(　　) A．45°　　　　　　　 B．135° C．45°或135° D．60° 解析：A　[kAB＝＝＝1，故直线的倾斜角为45°.] 2．若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于(　　) A．1± 或0 B. 或0 C. D. 或0 解析：A　[∵平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)， C(3，a3)共线，∴kAB＝kAC，即＝， 即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.] 3．直线l的一个方向向量d＝(3，)，则直线l的倾斜角是　________　，直线的斜率是　________　. 解析：由d＝(3，)＝3，设c＝，则d∥c，由向量d＝(3，)是直线l的一个方向向量，则c＝也为直线l的一个方向向量．则直线l的斜率为，所以倾斜角为. 答案：； 4．直线l经过A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，求直线l的倾斜角α的取值范围． 解：直线l的斜率k＝ ＝1＋m2≥1，所以k＝tan α≥1.又y＝tan α在 上是增函数，因此≤α<. 学科网（北京）股份有限公司 $$