第4章 §1 数学建模实例-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

§ 1 数学建模实例 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 课堂 互动学案 01 第四章 数学建模活动（三） 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第四章 数学建模活动（三） 下一页 上一页 返回导航 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\f(m0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a,b)))2). 同理mn＝eq \f(m0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a,b)))n)＝eq \f(m0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(A,nb)))n). 另外，由假设可知，a≥c，即n≤eq \f(A,c) . 于是，问题转化为只需要求同时满足eq \f(m0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(A,nb)))n)＜ε和n≤eq \f(A,c) 的n值即可．通过对n赋值，得到符合条件的n值，即得结果． 事实上，为了保证有解，应当满足条件eq \f(m0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(c,b)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(A,c)))) ＜ε，其中eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(A,c))) 表示不超过eq \f(A,c) 的最大整数． 五、检验 由模型得出的结论可通过实际检测得到(略)． 以上过程是一个完整的数学建模活动过程．在这之后，我们还可以做进一步的工作，比如： 1．改进已有模型，可通过改进假设，建立新的模型，使新的模型更接近实际． 2．讨论模型的特征，扩大模型的适用范围，以解决更多的问题． 3．深入分析实际情境，提出新的问题，进行新问题解决的数学建模活动． 在上面的数学建模活动中，做了模型的假设：每次漂洗所用的清水量相等，在本节开始还提及：漂洗的次数越多衣服越干净．现在，不禁要问： (1)如果每次漂洗所用的清水量不相等，结果又怎样呢？ (2)“漂洗的次数越多衣服越干净”的结论正确吗？ 在这里只讨论问题(1)： 为了简单起见，只讨论漂洗2次，设2次所用的清水量分别为a1 kg，a2 kg，且a1＋a2＝A，A是定值，比较a1＝a2和a1≠a2的漂洗效果． 在漂洗所用的清水量不相等(a1≠a2)时， m2＝eq \f(m0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a1,b)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a2,b)))) . 我们希望m2尽可能地小，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a1,b))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a2,b))) 尽可能地大．由基本不等式，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a1,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a2,b)))≥2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a1,b)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a2,b))))， 即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a1,b))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a2,b)))≤eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(a1,b)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a2,b)))))2 ＝eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(a1＋a2,b)))2 ＝eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(A,b)))2 . 因为这里的eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(A,b)))2 是定值，所以当且仅当1＋eq \f(a1,b)＝1＋eq \f(a2,b) ，即a1＝a2时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a1,b))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a2,b))) 取得最大值．这说明，在只漂洗2次的情况下，所用的清水量相等的漂洗效果最佳． 一般地，在用水总量和漂洗次数都相同的情况下，等量用水漂洗比不等量用水漂洗下的最后残留污物量要少． [思考交流] 经验告诉我们，漂洗的次数越多衣服越干净，能给出数学的解释吗？为了简单起见，只比较平均用水共漂洗2次比漂洗1次要好． 停车距离问题 [目的]　在数学建模活动中，经历从现实问题中确定变量、探寻关系、建立模型、计算系数、分析结论的全过程，形成和发展数学建模素养． [情境]　根据现实背景，建立急刹车的停车距离数学模型，理解数学模型中系数的意义，并根据模型得到的结果，就行车安全提出建议． 数学建模活动是一个科学研究的过程，可以个人单独进行，也可以组织研究小组共同开展．科学研究通常需要经历选题、开题、做题、结题四个基本步骤． 选题．本案例活动的选题步骤略去． 开题．结合问题，查阅相关资料，检索已有成果，用“头脑风暴”的形式集思广益，初步形成解决问题的大致思路和方案，并分析操作的可行性．尝试撰写开题报告．教师可以组织小组之间交流，请学生代表本小组介绍开题报告，交流反思后，改进并确定实施方案． 做题．实施建立模型、求解模型、检验结果的过程，写出结题报告或写成小论文． 结题．在班里介绍建模过程、结果和收获，由老师和其他同学给出评价． [分析]　本案例中，数学建模活动大体需要经历以下几个关键环节． 第一，确定影响停车距离的主要因素．例如，停车距离与刹车前汽车行驶的速度有关；与驾驶人员的反应时间有关，因人而异；与车辆的刹车性能有关，因车而异；还与道路状况、天气状况等一些随机因素有关．构建数学模型需要确定最为关键的因素，例如，在高速公路上，如果汽车刹车性能良好，则主要考虑前两个因素． 第二，建立急刹车的停车距离模型．由上面的分析，可以得到一个用生活语言表述的模型：停车距离＝反应距离＋制动距离．① 设d表示停车距离，d1表示反应距离，d2表示制动距离，用数学符号把上述模型表示为d＝d1＋d2.为了得到d1和d2的具体表达式，可以作下面的假设． 关于反应距离，假设反应距离是反应时间和汽车速度的函数，反应时间是指司机意识到应当急刹车到实施刹车所需要的时间，汽车速度是指司机在实施急刹车之前汽车的速度．在一般情况下，反应距离d1与反应时间t和汽车速度v都成正比，把这个关系表示为d1＝ktv，其中k为正的待定系数．在现实生活中，可以知道反应时间t＞0，但很难确定具体数值．因此，最终只能确认反应距离与汽车速度成正比，即把这个关系写成d1＝αv，可以认为用α替代了kt. 关于制动距离，假设刹车受力大小近似等于汽车轮胎与路面的摩擦力，制动距离是刹车受力与汽车速度的函数． 若F表示刹车受力，则汽车急刹车时所作的功为Fd2.根据能量守恒定律得Fd2＝eq \f(mv2,2) ，其中m是汽车质量．另一方面，如果急刹车时的加速度是a，再根据牛顿第二定律得F＝ma.综合上面两个式子，可以得到mad2＝eq \f(mv2,2) ，即制动距离d2＝eq \f(v2,2a) .也就是说，制动距离与汽车速度平方成正比：d2＝βv2，其中β是待定参数．依据①式，得 d＝d1＋d2＝αv＋βv2.② 第三，确定参数，计算求解．模型中的参数是至关重要的，一般来说不可能通过理论计算得到，因为在构建模型的过程中有许多因素没有也不可能考虑清楚．在现实模型中，参数值通常是通过统计方法得到的，是通过现实数据估计出来的．大体上有三种方法可以得到现实数据：调查、实验和试验． 为了估计急刹车的停车距离模型中的参数，需要通过试验的方法得到现实数据．下表是美国公路局公布的试验数据．通过正比例关系d1＝αv和d2＝βv2，可以计算出下表每一行中相应的α和β的值．它们的平均数分别为α＝0.21，β＝0.006，这组数据可以作为对参数α，β的一种估计．于是，通过试验数据得到了停车距离模型d＝0.21v＋0.006v2.③ 通过试验观察到的反应距离、 制动距离与停车距离 v/(km·h－1) d1/m d2/m d/m α β 32 6.7 6.1 12.8 0.209 0.006 0 40 8.5 8.5 17.0 0.213 0.005 3 48 10.1 12.3 22.4 0.210 0.005 3 56 11.9 16.0 27.9 0.213 0.005 1 64 13.4 21.9 35.3 0.209 0.005 3 72 15.2 28.2 43.4 0.211 0.005 4 80 16.7 36.0 52.7 0.209 0.005 6 89 18.6 45.3 63.9 0.209 0.005 7 97 20.1 55.5 75.6 0.207 0.005 9 105 21.9 67.2 89.1 0.209 0.006 1 113 23.5 81.0 104.5 0.208 0.006 3 121 25.3 96.9 122.2 0.209 0.006 6 128 26.8 114.6 141.4 0.209 0.007 0 从③式可以看到，汽车停车距离模型是汽车速度的二次函数，因此从数学应用的角度可以认为，函数是构建数学模型的有力工具． 由于模型中的参数来源于实际，在一般情况下，这个模型能够经受实践的检验．因此，急刹车的停车距离模型③普遍应用于汽车刹车设计和路面交通管理． 为了便于查阅，除了构建模型、制作表格外，人们也给出直观图形．下图直观地给出了急刹车的停车距离模型． $$