第3章 4.3 第2课时 空间中的距离问题-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系 第2课时 空间中的距离问题 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第三章 空间向量与立体几何 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 课程标准 素养解读 1.掌握点到平面的距离公式、点到直线的距离公式 2．能用向量方法解决点到平面、点到直线的距离问题 通过点到平面的距离公式、点到直线的距离公式的学习以及利用向量方法解决点到平面、点到直线的距离问题，强化数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养 [情境引入] 某人在一片丘陵上开垦了一块田地，在丘陵的上方架有一条直的水渠，此人想从水渠上选择一个点，通过一条管道把水引到田地中的一个点P处，要想使这个管道的长度理论上最短，应该如何设计？ [知识梳理] [知识点一]　点到平面的距离　 点P到平面α的距离等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量eq \o(PA,\s\up16(→))在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝|eq \o(PA,\s\up16(→))·n0| 如图，P是平面α外一点，PO⊥α于O，PA，PB是α的两条斜线段.eq \o(PA,\s\up16(→))与eq \o(PB,\s\up16(→))在eq \o(PO,\s\up16(→))上的投影大小相等吗？如果相等都等于什么？ [提示]　相等，都等于|eq \o(PO,\s\up16(→))|，即P到平面α的距离． [知识点二]点到直线的距离　 若点P是直线外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用向量法求点面距，是将点面距转化为已知点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的模．(√) (2)两异面直线间的距离可以转化成线面距，进而可转化成点面距．(√) (3)两平行直线间的距离可以转化成点线距．(√) (4)线面距、面面距可以转化成点面距．(√) 2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3，0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到α的距离为(　　 ) A．10　　　 B．3　　　 C.eq \f(8,3) 　　　 D.eq \f(10,3) 解析：D　[∵A(－1,3,0)，P(－2,1,4)，∴eq \o(AP,\s\up16(→))＝(－1，－2,4)． ∵n＝(－2，－2,1)，∴eq \o(AP,\s\up16(→))·n＝10，|n|＝3，∴点P到α的距离为＝eq \f(|\o(AP,\s\up16(→))·n|,|n|) ＝eq \f(10,3) .] 3．已知向量n＝(6,3,4)和直线l垂直，点A(2，0,2)在直线l上，则点P(－4,0,2)到直线l的距离为　________　. 解析：eq \o(AP,\s\up16(→)) ＝(－6,0,0)，d＝eq \f(|\o(AP,\s\up16(→))·n|,|n|) ＝eq \f(|－36|,\r(36＋9＋16)) ＝eq \f(36\r(61),61) . 答案：eq \f(36\r(61),61) 4．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为　__________　. 解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(2，0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,4)，B1(2,2,4)， 则eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－2,2,0)，eq \o(AD1,\s\up16(→))＝(－2,0,4)，eq \o(B1D1,\s\up16(→))＝(－2，－2,0)， 设平面AD1C的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up16(→))＝0，,n·\o(AD1,\s\up16(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x＋2y＝0，,－2x＋4z＝0.)) 取z＝1，则x＝y＝2，所以n＝(2,2,1)． 所以点B1到平面AD1C的距离d＝eq \f(|n·\o(B1D1,\s\up16(→))|,|n|)＝eq \f(8,3). 答案：eq \f(8,3) 点到直线的距离 [例1]　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，AA1＝5，求点A1到下列直线的距离： (1)直线AC；(2)直线BD. [解]　(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，显然AA1⊥AC， 所以AA1＝5即为所求点A1到直线AC的距离． (2)如图建立空间直角坐标系， 则有B(4,3,0)，A1(4,0,5). eq \o(DB,\s\up16(→))＝(4,3,0)，eq \o(DA1,\s\up16(→))＝(4,0,5)， eq \f(\o(DA1,\s\up16(→))·\o(DB,\s\up16(→)),|\o(DB,\s\up16(→))|)＝eq \f(16,5)， 设点A1到直线BD的距离为d.所以d＝ eq \r(|\o(DA1,\s\up16(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(DA1,\s\up16(→))·\o(DB,\s\up16(→)),|\o(DB,\s\up16(→))|)))2)＝ eq \r(41－\f(256,25))＝eq \f(\r(769),5) 向量法求点N到直线l的距离的步骤 第一步：建系，依据图形先求出直线l的单位方向向量s. 第二步：在直线l上任取一点M(注：可选择特殊点，便于计算eq \o(MN,\s\up16(→)))，计算点M与直线l外的点N的方向向量eq \o(MN,\s\up16(→)) . 第三步：易知垂线段的长度可利用直角三角形中的勾股定理计算 [变式训练] 1.已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以直线A1C1的方向向量eq \o(A1C1,\s\up16(→))＝(－4,3,0)，eq \o(BC1,\s\up16(→))＝(0,3,1)，所以点B到直线A1C1的距离d＝＝eq \r(10－\f(9,5)2)＝eq \f(13,5). 点到平面的距离 [例2]　在三棱锥S­ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2eq \r(3).M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离． [思路点拨]　借助平面SAC⊥平面ABC的性质，建立空间直角坐标系，先求平面CMN的法向量，再求距离. [解]　取AC的中点O，连接OS，OB. ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO. ∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC， ∴SO⊥平面ABC. 又BO⊂平面ABC，∴SO⊥BO. 如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则B(0,2eq \r(3)，0)， C(－2,0,0)，S(0,0,2eq \r(2))，M(1，eq \r(3)，0)，N(0，eq \r(3)，eq \r(2))．∴eq \o(CM,\s\up16(→))＝(3，eq \r(3)，0)，eq \o(MN,\s\up16(→))＝(－1,0，eq \r(2))，eq \o(MB,\s\up16(→))＝(－1，eq \r(3)，0)． 设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(CM,\s\up16(→))·n＝3x＋\r(3)y＝0，,\o(MN,\s\up16(→))·n＝－x＋\r(2)z＝0，))取z＝1， 则x＝eq \r(2)，y＝－eq \r(6)，∴n＝(eq \r(2)，－eq \r(6)，1)． ∴点B到平面CMN的距离d＝eq \f(|n·\o(MB,\s\up16(→))|,|n|)＝eq \f(4\r(2),3). 求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离． (2)在三棱锥中用等体积法求解． (3)向量法：d＝eq \f(|n·\o(MA,\s\up16(→))|,|n|)(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段) [变式训练] 2.在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点． (1)求证：B1C∥平面A1BD； (2)求直线B1C到平面A1BD的距离． 解：(1)证明：连接AB1交A1B于点E，连接DE. eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(DE∥B1C，,DE⊂平面A1BD))⇒B1C∥平面A1BD. B1C⊄平面A1BD (2)因为B1C∥平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离． 如图建立坐标系，则D(0,0,0)，B1(0,2eq \r(2)，3)，B(0,2eq \r(2)，0)，A1(－1,0,3)， eq \o(DB1,\s\up16(→))＝(0,2eq \r(2)，3)，eq \o(DB,\s\up16(→))＝(0,2eq \r(2)，0)，eq \o(DA1,\s\up16(→))＝(－1,0,3)． 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(DB,\s\up16(→))＝0，,n·\o(DA,\s\up16(→))＝0，))所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2\r(2)y＝0，,－x＋3z＝0，))所以n＝(3,0,1)． 所求距离为d＝eq \f(|n·\o(DB1,\s\up16(→))|,|n|)＝eq \f(3\r(10),10). 直线到平面、平面到平面的距离 [例3]　已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2. (1)求直线B1C到平面A1BD的距离； (2)求平面A1BD与平面B1CD1间的距离． [思路点拨]　1直线B1C到平面A1BD的距离等于点B1到平面A1BD的距离.,2平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离. [解]　(1)如图建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，所以eq \o(CB1,\s\up16(→))＝(2,0,2)，eq \o(DA1,\s\up16(→))＝(2,0,2)，eq \o(DB,\s\up16(→))＝(2,2,0)，所以eq \o(CB1,\s\up16(→))∥eq \o(DA1,\s\up16(→))，即CB1∥DA1， 又CB1⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD， 所以B1C∥平面A1BD. 所以直线B1C到平面A1BD的距离等于点B1到平面A1BD的距离． 设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up16(→))＝2x＋2z＝0，,n·\o(DB,\s\up16(→))＝2x＋2y＝0，))令x＝1， 则n＝(1，－1，－1)， 又eq \o(A1B1,\s\up16(→))＝(0,2,0)，所以点B1到平面A1BD的距离d＝eq \f(|\o(A1B1,\s\up16(→))·n|,|n|)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3). (2)由(1)知B1C∥平面A1BD，同理，D1B1∥平面A1BD，B1C∩D1B1＝B1，所以平面A1BD∥平面B1CD1，即平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点B1到平面A1BD的距离， 由(1)知，点B1到平面A1BD的距离d＝eq \f(|\o(A1B1,\s\up16(→))·n|,|n|)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3). 所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为eq \f(2\r(3),3). 用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距． [变式训练] 3．如图在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点． (1)求证：DE∥平面PFB； (2)求点E到平面PFB的距离． 解：(1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0,1,1).eq \o(FP,\s\up16(→))＝(－1,0,2)，eq \o(FB,\s\up16(→))＝(1,2,0)，eq \o(DE,\s\up16(→))＝(0,1,1)，∴eq \o(DE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(FP,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(FB,\s\up16(→))，∴eq \o(DE,\s\up16(→))∥平面PFB. 又DE⊄平面PFB，∴DE∥平面PFB. (2)∵DE∥平面PFB，∴点E到平面 PFB的距离等于点D到平面PFB的距离． 设平面PFB的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(FB,\s\up16(→))＝0，,n·\o(FP,\s\up16(→))＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,－x＋2z＝0，)) 令x＝2，得y＝－1，z＝1. ∴n＝(2，－1,1)．又eq \o(FD,\s\up16(→))＝(－1,0,0)， ∴点D到平面PFB的距离 d＝eq \f(|\o(FD,\s\up16(→))·n|,|n|)＝eq \f(2,\r(6))＝eq \f(\r(6),3) . ∴点E到平面PFB的距离为eq \f(\r(6),3). [当堂达标] 1．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于(　　) A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6 解析：C　[因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝(4，－5,0)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(0,4，－3)，则eq \o(AB,\s\up16(→)) 在eq \o(AC,\s\up16(→)) 上的投影为eq \f(\o(AB,\s\up16(→))·\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AC,\s\up16(→))|)＝eq \f(－20,5) ＝－4.又|eq \o(AB,\s\up16(→)) |＝eq \r(41) ，所以AC边上的高BD的长为eq \r(41－16) ＝5.] 2．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为(　　) A.eq \f(\r(3),4) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(3\r(3),4) D.eq \r(3) 解析：B　[建立如图所示的坐标系，则A1(0,1,0)，B(0，－1,1)，C(eq \r(3)，0,1)， A(0,1,1)，eq \o(A1A,\s\up16(→))＝(0,0,1)，eq \o(A1B,\s\up16(→))＝(0，－2,1)，eq \o(A1C,\s\up16(→))＝(eq \r(3)，－1,1)，设平面A1BC的一个法向量为a＝(x，y，z)， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a·\o(A1B,\s\up16(→))＝0,a·\o(A1C,\s\up16(→))＝0))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(3),6)z，,y＝\f(1,2)z，))取z＝1，则a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(1,2)，1))所以点A到平面A1BC的距离d＝eq \f(|\o(A1A,\s\up16(→))·a|,|a|)＝eq \f(1,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋1))＝eq \f(\r(3),2).] 3．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是　_________　. 解析：如图建立坐标系．则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，eq \o(DA1,\s\up16(→))＝(2,0,2)， eq \o(D1A1,\s\up16(→))＝(2,0,0)，eq \o(DB,\s\up16(→))＝(2,2,0)，设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up16(→))＝0，,n·\o(DB,\s\up16(→))＝0，)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋2z＝0，,2x＋2y＝0，))令z＝1，得n＝(－1,1,1)．∴D1到平面A1BD的距离d＝eq \f(|\o(D1A1,\s\up16(→))·n|,|n|)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3). 答案：eq \f(2\r(3),3) 4.如图，三棱柱AA′D­BB′C中，已知ABCD是边长为1的正方形，四边形AA′B′B是矩形，平面AA′B′B⊥平面ABCD.若AA′＝1，求直线AB到平面DA′C的距离． 解：如图建立空间坐标系A－xyz，则eq \o(DA′,\s\up16(→))＝(－1，0,1)，eq \o(DC,\s\up16(→))＝(0,1,0)，设平面DA′C的法向量为n1＝(x，y,1)则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(DA′,\s\up16(→))·n1＝0,\o(DC,\s\up16(→))·n1＝0))得n1＝(1,0,1) 直线AB到平面的DA′C距离d就等于点A到平面DA′C的距离，也等于向量eq \o(AD,\s\up16(→))在面DA′C的法向量上的投影的绝对值，∴d＝eq \f(|\o(AD,\s\up16(→))·n1|,|n1|)＝eq \f(\r(2),2). $$