第2章 3.2 抛物线的简单几何性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

3.3 抛物线的简单几何性质 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第二章 圆锥曲线 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课程标准 素养解读 1.了解抛物线的简单几何性质 2．能利用性质解决与抛物线有关的问题 3．能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题 通过抛物线的简单几何性质的运用，进一步培养直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养 [情境引入] 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法探究方程为y2＝2px(p>0)的抛物线， 你认为应研究抛物线的哪些几何性质，如何研究这些性质？ [知识梳理] [知识点]　抛物线的几何性质　 图象 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 性质 焦点 坐标 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) 准线 方程 x＝－eq \f(p,2) x＝eq \f(p,2) y＝－eq \f(p,2) y＝eq \f(p,2) 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 　(0,0)　 离心率 e＝1 1.焦点到准线的距离是多少？ 提示：焦点到准线的距离均为p. 2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于对称轴的弦长是多少？ 提示：过抛物线y2＝2px的焦点且垂直于对称轴的弦长是2p. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线关于顶点对称．(×) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(√) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(√) (4)抛物线y＝－eq \f(1,8)x2的准线方程为x＝eq \f(1,32).(×) 2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　 ) A．x2＝16y　　　 B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y 解析：D　[顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.] 3．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　) A．(6，＋∞) B．[6，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 解析：D　[∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， ∴eq \f(p,2)＝3，即p＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为eq \f(p,2)，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．] 4．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为　__________　. 解析：由抛物线的几何性质，从焦点发出的光线经抛物线反射后与x轴平行及直线y＝－2平行于x轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2. 答案：x＝－2 由抛物线几何性质求抛物线的方程 [例1]　(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2eq \r(3)，则抛物线的方程为　____________　. (2)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq \r(3)，求抛物线的标准方程． [解析]　(1)根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±eq \r(3)，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，eq \r(3))或(－1，eq \r(3))，设抛物线方程为 y2＝2px或y2＝－2px(p>0)， 则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x. [答案]　y2＝3x或y2＝－3x (2)[解]　由已知得eq \f(c,a)＝2，所以eq \f(a2＋b2,a2)＝4，解得eq \f(b,a)＝eq \r(3)， 即渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.而抛物线准线方程为x＝－eq \f(p,2)， 于是Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－\f(\r(3)p,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\f(\r(3)p,2)))， 从而△AOB的面积为eq \f(1,2)·eq \r(3)p·eq \f(p,2)＝eq \r(3)，可得p＝2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y2＝4x. 抛物线各元素间的关系 抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为eq \f(p,2). [变式训练] 1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　 ) A．y2＝eq \f(\r(3),6)x　　　　 B．y2＝－eq \f(\r(3),3)x C．y2＝±eq \f(\r(3),6)x D．y2＝±eq \f(\r(3),3)x 解析：C　[设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取点A在x轴上方)，则有eq \f(1,4)＝±eq \f(\r(3),2)a，解得a＝±eq \f(\r(3),6)，所以抛物线方程为y2＝±eq \f(\r(3),6)x.] 抛物线几何性质的应用 [例2]　已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程． [思路点拨]　由抛物线的对称性设出A，B两点的坐标，再利用垂直和点A，B在抛物线上求解． [解]　抛物线的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)). ∵抛物线关于x轴对称，|OA|＝|OB|，∴△ABO为等腰三角形，且A，B两点关于x轴对称． 设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)．∵△ABO的垂心恰为抛物线的焦点，∴BF⊥OA.则kBF·kOA＝－1，即eq \f(－y0－0,x0－\f(p,2))·eq \f(y0,x0)＝－1. 又yeq \o\al(2,0)＝2px0，∴x0＝eq \f(5,2)p.∴直线AB的方程为x＝eq \f(5p,2). 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点：解决焦点弦问题． [变式训练] 2．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，A，B是抛物线上两点，若△AFB是等边三角形，则△AFB的边长为　________　. 解析：由题意可知点A，B一定关于x轴对称，且AF，BF与x轴夹角均为30°.由于y2＝4x的焦点为(1,0)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x－1，,y2＝4x，))化简得y2－4eq \r(3)y－4＝0，解得y1＝2eq \r(3)＋4，y2＝2eq \r(3)－4，所以△AFB的边长为8＋4eq \r(3)或8－4eq \r(3). 答案：8＋4eq \r(3)或8－4eq \r(3) 抛物线的实际应用 [例3]　河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高eq \f(3,4)米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ [思路点拨]　eq \x(建系)→eq \x(设方程)→eq \x(解方程)→eq \x(求出相关量)→eq \x(解决问题) [解]　如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， 由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝eq \f(8,5)，∴抛物线方程为x2＝－eq \f(16,5)y. ∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航． 设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－eq \f(16,5)yA，得yA＝－eq \f(5,4). 又知船露出水面上部分为eq \f(3,4)米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋eq \f(3,4)＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航． 求抛物线实际应用的五个步骤 (1)建立适当的坐标系． (2)设出合适的抛物线标准方程． (3)通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求出需要求出的量． (5)还原到实际问题中，从而解决实际问题． [变式训练] 3.一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值． 解：以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示． 设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)． ∵AB是OD的4倍，∴点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－\f(a,4))).由点B在抛物线上，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＝－2p·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)))，∴p＝eq \f(a,2).∴抛物线方程为x2＝－ay. 设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，∴y0＝－eq \f(0.64,a)，∴点E到拱底AB的距离h＝eq \f(a,4)－|y0|＝eq \f(a,4)－eq \f(0.64,a)，令h＞3，则eq \f(a,4)－eq \f(0.64,a)＞3，解得a＞6＋eq \f(2\r(241),5)或a＜6－eq \f(2\r(241),5)(舍去)．∴a的最小整数值为13. [当堂达标] 1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(　　) A.eq \f(1,4) 　 B．－eq \f(1,4)　　 C．4　　 D．－4 解析：B　[由y＝ax2，变形得x2＝eq \f(1,a)y＝2×eq \f(1,2a)y，∴p＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a))).又抛物线的准线方程是y＝1，∴－eq \f(1,4a)＝1，解得a＝－eq \f(1,4).] 2．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　 ) A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8) 解析：A　[线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，则焦点到直线AB的距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).] 3．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点在坐标原点，如果这个三角形的面积为36eq \r(3) ，则a＝　__________　. 解析：设正三角形边长为x.由题意，得36eq \r(3)＝eq \f(1,2)x2sin 60°，∴x＝12. 当a>0时，将(6eq \r(3)，6)代入y2＝ax，得a＝2eq \r(3)； 当a<0时，将(－6eq \r(3)，6)代入y2＝ax，得a＝－2eq \r(3).故a＝±2eq \r(3). 答案：±2eq \r(3) 4．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 解：椭圆的方程可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即eq \f(p,2)＝3， ∴p＝6.∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，相应的准线方程为x＝－3或x＝3. $$