第2章 2.2 双曲线的简单几何性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

2.2 双曲线的简单几何性质 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第二章 圆锥曲线 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课程标准 素养解读 1.掌握双曲线的简单几何性质 2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义 1.通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养 2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养 [情境引入] 类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？ [知识梳理] [知识点一]　双曲线的简单几何性质　 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 eq \f(x2,a2) －eq \f(y2,b2) ＝1(a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2) －eq \f(x2,b2) ＝1(a＞0，b＞0) 图形 范围 　x≤－a或x≥a　 　y≤－a或y≥a　 对称性 对称轴：　x轴、y轴　，对称中心(双曲线的中心)：　(0,0)　 顶点 A1　(－a,0)　，A2　(a,0)　 A1　(0，－a)　， A2　(0，a)　 轴长 实轴长|A1A2|＝　2a　，虚轴长|B1B2|＝　2b　；a和b分别表示双曲线的实半轴长和虚半轴长. 焦点 F1(－c,0), F2(c,0) F1(0，－c), F2(0，c) [知识点二]双曲线的离心率　 1．定义：把eq \f(c,a) 叫作双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的离心率，用e表示，e＝eq \f(c,a)>1. 2．性质： eq \f(b,a) 越大，e越大，双曲线的开口越大. 离心率e可以用来表示双曲线开口的程度． [知识点三]　双曲线的渐近线　 双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的两支在向外无限延伸时与直线y＝eq \f(b,a)x和y＝－eq \f(b,a)x无限逼近． 一般地，直线y＝eq \f(b,a)x和y＝－eq \f(b,a)x称为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线． 同样，双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1的渐近线为y＝±eq \f(a,b)x. 1.渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？ [提示]　渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴的长与虚轴的长的比值相同． 2．双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？ [提示]　e2＝eq \f(c2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)，eq \f(b,a)是渐近线的斜率或其倒数． [知识点四]　等轴双曲线　 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝eq \r(2). [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的形状相同．(√) (2)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(×) (3)双曲线方程eq \f(x2,m2) －eq \f(y2,n2) ＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq \f(x2,m2) －eq \f(y2,n2) ＝0，(√) (4)渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系是k＝±eq \r(e2＋1) .(×) (5)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(×) 2．双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是(　　) A．y＝±x　　　　　 B．y＝±eq \r(2) x C．y＝±eq \r(3) x D．y＝±2x 解析：A　[由题意知eq \f(y2,2)－eq \f(x2,2)＝1，则渐近线方程为y＝±x.] 3．若双曲线eq \f(y2,16)－eq \f(x2,m) ＝1的离心率e＝2，则m＝　________　. 解析：由题意知a2＝16，即a＝4.又e＝2，所以c＝2a＝8，则m＝c2－a2＝48. 答案：48 4．双曲线eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,k)＝1的离心率e∈(1,2)，则实数k的取值范围是　__________　. 解析：双曲线方程可变形为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,－k)＝1， 则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(4－k),2). 又因为e∈(1,2)，即1<eq \f(\r(4－k),2)<2，解得－12<k<0. 答案：(－12,0) 根据双曲线方程研究几何性质 [例1]　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． [解]　双曲线的方程化为标准形式是eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝eq \r(13).又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－eq \r(13)，0)，(eq \r(13)，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),3)，渐近线方程为y＝±eq \f(2,3)x. 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值； (3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质． 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置． [变式训练] 1．求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解：把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为eq \f(y2,42)－eq \f(x2,32)＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(42＋32)＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)；渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x. 利用几何性质求双曲线方程 [例2]　(1)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　 ) A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1　　　　 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1 C.eq \f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,3)＝1 (2)渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为_____________． [思路点拨]　(1)△OAF是边长为2的等边三角形⇒求c和点A的坐标⇒渐近线的斜率⇒求a，b. (2)法一：分焦点在x轴和y轴上两种情况求解．法二：待定系数法求解． [解析]　(1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，eq \r(3))，所以eq \f(b,a)＝eq \r(3)，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1. (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x， 若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2).①因为点A(2，－3)在双曲线上，所以eq \f(4,a2)－eq \f(9,b2)＝1.②联立①②，无解． 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为 eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq \f(a,b)＝eq \f(1,2).③ 因为点A(2，－3)在双曲线上，所以eq \f(9,a2)－eq \f(4,b2)＝1.④ 联立③④，解得a2＝8，b2＝32. 故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,32)＝1. 法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，可设双曲线的方程为eq \f(x2,22)－y2＝λ(λ≠0)．因为点A(2，－3)在双曲线上，所以eq \f(22,22)－(－3)2＝λ，即λ＝－8.故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,32)＝1. [答案]　(1)D　(2)eq \f(y2,8)－eq \f(x2,32)＝1 (1)由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法： 一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求解． (2)常见双曲线方程的设法 ①渐近线为y＝±eq \f(n,m)x的双曲线方程可设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)． ②与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝λ(λ≠0)． ③与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)离心率相等的双曲线系方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ>0)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝λ(λ>0)，这是因为离心率不能确定焦点位置． [变式训练] 2．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)； (2)与双曲线eq \f(y2,4)－eq \f(x2,3)＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)； (3)过点(2,0)，与双曲线eq \f(y2,64)－eq \f(x2,16)＝1离心率相等． 解：(1)由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32. 因此所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,\f(32,9))－eq \f(x2,8)＝1. (2)设所求双曲线方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,3)＝λ(λ≠0)． 由点M(3，－2)在双曲线上得eq \f(4,4)－eq \f(9,3)＝λ，得λ＝－2. 故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,6)－eq \f(y2,8)＝1. (3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为eq \f(x2,64)－eq \f(y2,16)＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝eq \f(1,16)，故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为eq \f(y2,64)－eq \f(x2,16)＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－eq \f(1,4)<0(舍去)． 综上可知，所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝1. 求双曲线的离心率 [例3]　已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　) A.eq \r(5) B．2 C.eq \r(3) D.eq \r(2) [思路点拨]　由已知条件画图⇒点M的坐标⇒代入双曲线方程． [解析]　设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于H，则∠MBH＝60°，|BH|＝a，|MH|＝eq \r(3)a，所以M(2a，eq \r(3)a)．将点M的坐标代入双曲线方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，得a＝b，所以e＝eq \r(2). [答案]　D 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝eq \f(c,a)得解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)得解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． [变式训练] 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，eq \o(F1A,\s\up6(→))⊥eq \o(F1B,\s\up6(→))，eq \o(F2A,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3) eq \o(F2B,\s\up6(→))，则C的离心率为　________　. 解析：由eq \o(F2A,\s\up16(→))＝－eq \f(2,3) eq \o(F2B,\s\up16(→))，得eq \f(|\o(F2A,\s\up16(→))|,\a\vs4\al(|\o(F2B,\s\up16(→))|))＝eq \f(2,3)，设|eq \o(F2A,\s\up6(→))|＝2x，|eq \o(F2B,\s\up16(→))|＝3x，由对称性可得|eq \o(F1B,\s\up16(→))|＝3x，由定义可得，|eq \o(AF1,\s\up16(→))|＝2x＋2a，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝5x，设∠F1AF2＝θ，则sin θ＝eq \f(3x,5x)＝eq \f(3,5)⇒cos θ＝eq \f(4,5)＝eq \f(2x＋2a,5x)，解得x＝a，所以|eq \o(AF1,\s\up16(→))|＝4a，|eq \o(AF2,\s\up16(→))|＝2a，在△AF1F2中，由余弦定理可得cos θ＝eq \f(16a2＋4a2－4c2,16a2)＝eq \f(4,5)，即5c2＝9a2，可得e＝eq \f(3\r(5),5). 答案：eq \f(3\r(5),5) 4．(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) A.eq \f(\r(7),2)　　 B.eq \f(\r(13),2)　　 C.eq \r(7)　　 D.eq \r(13) 解析：A　[由题意，得|PF1|＝3|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a得|PF2|＝a，|PF1|＝3a，在△F1PF2中，有|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，得(2c)2＝(3a)2＋a2－2×3a×a×cos 60°，即e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),2).] 双曲线的离心率与渐近线 [例4]　(1)已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为eq \r(5)，则它的渐近线方程为(　　 ) A．y＝±2x B．y＝±eq \f(\r(5),2)x C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±eq \r(6)x (2)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2) ＝1(a＞eq \r(2) )的两条渐近线的夹角为eq \f(π,3) ，则双曲线的离心率为　________　. [解析]　(1)C　[设双曲线的方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，∵e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)，c＝eq \r(a2＋b2)，∴eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq \r(5)，∴eq \f(b,a)＝2，∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x＝±eq \f(1,2)x.] (2)∵a＞eq \r(2)，∴eq \f(\r(2),a)＜1，∴y＝eq \f(\r(2),a)x的倾斜角小于eq \f(π,4)， ∴eq \f(\r(2),a)＝taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，∴a＝eq \r(6)，c＝eq \r(a2＋b2)＝2eq \r(2)， ∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(2),\r(6))＝eq \f(2\r(3),3). [答案]　(1)y＝±eq \r(3)x　(2)eq \f(2\r(3),3) (1)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：|k|＝eq \f(b,a) ＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \r(e2－1). (2)求双曲线渐近线的方法 求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，得y＝±eq \f(b,a)x；或令eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝0，得y＝±eq \f(a,b)x.反之，已知渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)． [变式训练] 5．(1)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(2)，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　) A.eq \r(2) B．2 C.eq \f(3\r(2),2) D．2eq \r(2) (2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，则该双曲线的离心率为　________　. 解析：(1)∵e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝2，∴eq \f(b2,a2)＝1，∴eq \f(b,a)＝1，∴渐近线方程为x±y＝0，则点(4,0)到渐近线的距离d＝eq \f(|4±0|,\r(2))＝2eq \r(2). (2)当焦点在x轴上时，eq \f(b,a)＝eq \f(2,3)，即eq \f(c2－a2,a2)＝eq \f(4,9)，∴e2＝eq \f(13,9)，解得e＝eq \f(\r(13),3)；当焦点在y轴上时，eq \f(b,a)＝eq \f(3,2)，即eq \f(c2－a2,a2)＝eq \f(9,4)，∴e2＝eq \f(13,4)，解得e＝eq \f(\r(13),2).故双曲线的离心率为eq \f(\r(13),2)或eq \f(\r(13),3). 答案：(1)D　(2)eq \f(\r(13),2)或eq \f(\r(13),3) [当堂达标] 1．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　) A．x2－eq \f(y2,4) ＝1　　　　　 B.eq \f(x2,4) －y2＝1 C．x2－eq \f(y2,2) ＝1 D.eq \f(x2,2) －y2＝1 解析：A　[在A项中，双曲线方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，即a＝1，b＝2，∴渐近线方程为y＝±2x.] 2．双曲线C：eq \f(x2,a2) －eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为eq \r(3) ，则双曲线C的焦距等于(　　) A．2 B．2eq \r(2) C．4 D．4eq \r(2) 解析：C　[由已知得e＝eq \f(c,a)＝2，所以a＝eq \f(1,2)c，故b＝eq \r(c2－a2) ＝eq \f(\r(3),2)c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(3)x.由焦点到渐近线的距离为eq \r(3)，得eq \f(\r(3),2)c＝eq \r(3) ，解得c＝2，故2c＝4.] 3．关于双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝－1，有以下说法： ①实轴长为6；　②双曲线的离心率是eq \f(5,4)；　③焦点坐标为(±5,0)；　④渐近线方程是y＝±eq \f(4,3)x； ⑤焦点到渐近线的距离等于3. 正确的说法是　__________　.(把所有正确说法的序号都填上) 解析：∵双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝－1，即eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1，∴a＝4，b＝3，c＝eq \r(9＋16)＝5，∴①实轴长为2a＝8，故①错误； ②双曲线的离心率是e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)，故②正确； ③焦点坐标为F(0，±5)，故③错误； ④渐近线方程是y＝±eq \f(4,3)x，故④正确； ⑤焦点到渐近线的距离为d＝eq \f(|0＋15|,\r(9＋16))＝3，故⑤正确． 答案：②④⑤ 4．求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为eq \f(π,6)的双曲线的方程． 解：渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，设双曲线方程为x2－3y2＝λ.将(3，－2)代入求得λ＝－3，所以双曲线方程为y2－eq \f(x2,3)＝1. $$