第2章 1.1 椭圆及其标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

§ 1 椭圆 1.1 椭圆及其标准方程 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第二章 圆锥曲线 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课程标准 素养解读 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题 1.通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题学习，培养学生的数学运算素养 2．借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养 [情境引入] 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础． [知识梳理] [知识点一]　椭圆的定义　 定义 平面内到两个定点F1，F2的　距离之和等于常数　(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆 焦点 两个　定点　F1，F2叫作椭圆的焦点 焦距 两焦点间的　距离　|F1F2|叫作椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距 集合语言 P＝{M|　|MF1|＋|MF2|＝2a　，2a＞|F1F2|} 　(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ [提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2. (2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． ［知识点二］　椭圆的标准方程　 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(×) (2)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．(×) (3)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(√) (4)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(×) 2．设P是椭圆eq \f(x2,16) ＋eq \f(y2,25) ＝1上的点．若F1，F2是椭圆的两个焦点，点P到焦点F1的距离是3，则点P到另一焦点F2的距离是(　　) A．10　　 B．8　　　 C．7　　　 D．5 解析：C　[∵椭圆的方程eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1，∴椭圆的焦点在y轴上，a2＝25且b2＝16，可得a＝5且b＝4.∵点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10，∴根据椭圆的定义可得点P到另一个焦点的距离为10－3＝7.] 3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　) A.eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1　　　　 B.eq \f(y2,400)＋eq \f(x2,336)＝1 C.eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,36)＝1 D.eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,12)＝1 解析：C　[由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,36)＝1.] 4．已知椭圆中a＝5, c＝3, 焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为　____________________　. 解析：由a2＝b2＋c2，得b2＝52－32＝42＝16, 所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1. 答案：eq \f(x2,25) ＋eq \f(y2,16) ＝1 求椭圆的标准方程 [例1]　求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10； (2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3eq \r(2))； (3)经过两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2))). [解]　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(25－16)＝3，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)． 法一：由椭圆的定义知2a＝eq \r(4－02＋3\r(2)＋22)＋eq \r(4－02＋3\r(2)－22)＝12， 解得a＝6.又c＝2，所以b＝eq \r(a2－c2)＝4eq \r(2). 所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1. 法二：因为所求椭圆过点(4,3eq \r(2))，所以eq \f(18,a2)＋eq \f(16,b2)＝1. 又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32. 所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1. (3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)． 由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.)) 所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)． 由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b2＝8，,a2＝4.)) 则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1. 法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入椭圆的一般方程， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，)) 所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1. (1)利用待定系数法求椭圆的标准方程 ①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a，b，c的等量关系；④求a，b的值，代入所设方程． (2)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算． [变式训练] 1．根据下列条件，求出椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26； (2)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上． 解：(1)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)． ∵2a＝26，∴a＝13.又c＝5，∴b2＝a2－c2＝144. ∴所求椭圆方程为eq \f(y2,169)＋eq \f(x2,144)＝1. (2)方法一　设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．∵焦点在x轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1. 又椭圆经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，∴eq \f(1,b2＋1)＋eq \f(\f(9,4),b2)＝1， 解得b2＝3. ∴a2＝4.∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1. 方法二　∵焦距为2，焦点在x轴上， ∴焦点坐标为(－1,0)，(1,0)． 又点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在椭圆上， ∴2a＝eq \r(1＋12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＋eq \r(1－12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝4， ∴a＝2，b2＝a2－c2＝3，∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1. 椭圆标准方程的判定 [例2]　(1)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围； (2)若方程eq \f(x2,k－3)＋eq \f(y2,5－k)＝1表示椭圆，求k的取值范围． [思路点拨]　　椭圆标准方程中，分母都大于零且不相等．在解题时，不仅要注意分母都大于零，还要注意分母相等时该方程就变成了圆的方程． [解]　(1)原方程可化为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1.因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＞0,\f(2,k)＞2))， 解得0＜k＜1.故k的取值范围是(0,1)． (2)依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k－3＞0,5－k＞0,k－3≠5－k))，解得3＜k＜5， 且k≠4.故k的取值范围是(3,4)∪(4,5)． 方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示椭圆的条件是m>0，n>0，m≠n； 表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m>0，n>0，m>n； 表示焦点在y轴上的椭圆的条件是m>0，n>0，m<n. [变式训练] 2．若方程eq \f(x2,16－m) ＋eq \f(y2,m＋9) ＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．(－9,16)　　　　 B．(－9，eq \f(7,2) ) C．(eq \f(7,2) ,16) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2) ，＋∞)) 解析：C　[依题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(16－m>0，,m＋9>0，,m＋9>16－m，))解得eq \f(7,2) <m<16，即实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2) ，16)).] 椭圆中的焦点三角形问题 [例3]　(1)椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为　________　. (2)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为　____________　. [思路点拨]　(1)eq \x(求|PF2|)→eq \x(求cos∠F1PF2)→eq \x(求∠F1PF2的大小) (2)eq \x(\a\al(椭圆定义和,余弦定理))→eq \x(\a\al(建立关于|PF1|，,|PF2|的方程))→eq \x(联立求解|PF1|)→eq \x(\a\al(求三角形,的面积)) [解析]　(1)由eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1，知a＝3，b＝eq \r(2)，∴c＝eq \r(7). ∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2， ∴cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝－eq \f(1,2)，∴∠F1PF2＝120°. (2)由eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，可知a＝2，b＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(a2－b2)＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.　① 由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.　② 由①②联立可得|PF1|＝eq \f(6,5). 所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝eq \f(1,2)×eq \f(6,5)×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),5). [答案]　(1)120°　(2)eq \f(3\r(3),5) (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． [变式训练] 3．(1)(2023·全国甲卷(理))已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1，F1、F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝eq \f(3,5)，则|PO|＝(　　) A.eq \f(2,5)　　 B.eq \f(\r(30),2)　　 C.eq \f(3,5)　　 D.eq \f(\r(35),2) (2)已知P是椭圆eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，则△F1PF2的面积是　________　. (1)解析：B　[设∠F1PF2＝2θ，0＜θ＜eq \f(π,2)，所以S△PF2F1＝b2taneq \f(∠F1PF2,2)＝b2tan θ， 由cos∠F1PF2＝cos 2θ＝eq \f(cos2θ－sin2 θ,cos2 θ＋sin2 θ) ＝eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq \f(3,5)，解得：tan θ＝eq \f(1,2)， 由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3， 所以，S△PF1F2＝eq \f(1,2)×|F1F2|×|yP|＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)× |yP|＝6×eq \f(1,2)，解得：yeq \o\al(2,P)＝3，即xeq \o\al(2,P)＝9×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,6)))＝eq \f(9,2)，因此|OP|＝eq \r(x\o\al(2,P)＋y\o\al(2,P))＝eq \r(3＋\f(9,2))＝eq \f(\r(30),2).] (2)解析：由椭圆的标准方程，知a＝eq \r(5)，b＝2， ∴c＝eq \r(a2－b2)＝1，∴|F1F2|＝2.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq \r(5). 在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°， 即4＝20－(2＋eq \r(3))|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝16(2－eq \r(3))．∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×16(2－eq \r(3))×eq \f(1,2)＝8－4eq \r(3). 答案：8－4eq \r(3) 利用椭圆定义求轨迹方程 [例4]　如图，一动圆过定点A(2,0)，且与定圆B：x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程． [思路点拨]　根据两圆内切的特点，得出|MA|＋|MB|＝6＞|AB|＝4，所以点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，进而求出a2，b2即可得点M的轨迹方程． [解]　设|MA|＝r.圆B方程化为(x＋2)2＋y2＝36，则B(－2,0)． ∵圆M与圆B内切， ∴|MB|＝6－r，即|MB|＋|MA|＝6(大于|AB|＝4)．∴点M轨迹是以A，B为焦点的椭圆． ∴2a＝6,2c＝4.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5. ∴圆心M的轨迹方程是eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1. 利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤 [变式训练] 4．在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程． 解：由题意，知点M在线段CQ上，所以|CQ|＝|MQ|＋|MC|. 因为点M在AQ的垂直平分线上， 所以|MA|＝|MQ|.所以|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5. 因为A(1,0)，C(－1,0) 所以点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5. 所以a＝eq \f(5,2)，c＝1，b2＝a2－c2＝eq \f(25,4)－1＝eq \f(21,4). 故点M的轨迹方程为eq \f(x2,\f(25,4))＋eq \f(y2,\f(21,4))＝1. [当堂达标] 1．(多选)若椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)＝1的焦距是2，则m＝(　　) A．1　　　 B．3　　　 C．5　　　 D．7 解析：BC　[当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4.又2c＝2，所以c＝1，所以m－4＝1，所以m＝5.当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，所以c2＝4－m＝1，所以m＝3.] 2．过点A(3，－2)且与椭圆eq \f(x2,9) ＋eq \f(y2,4) ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为(　　) A.eq \f(x2,15) ＋eq \f(y2,10) ＝1　　　　 B.eq \f(x2,25) ＋eq \f(y2,20) ＝1 C.eq \f(x2,10) ＋eq \f(y2,15) ＝1　　　　 D.eq \f(x2,20) ＋eq \f(y2,15) ＝1 解析：A　[由题意知c2＝5，可设椭圆方程为eq \f(x2,λ＋5)＋eq \f(y2,λ)＝1(λ>0)，则eq \f(9,λ＋5)＋eq \f(4,λ)＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1.] 3．若方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2m－1)＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是　________　. 解析：由方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2m－1)＝1表示椭圆，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＞0，,2m－1＞0，,m≠2m－1，))解得m＞eq \f(1,2)且m≠1. 答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(m＞\f(1,2)且m≠1)))) 4．设F1，F2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面积． 解：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝eq \r(5).∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△PF1F2是直角三角形，且∠F1PF2＝90°，故△F1PF2的面积为eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×2×4＝4 $$