第1章 1.6 第2课时 点到直线的距离公式&第3课时 两条平行直线间的距离公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

1.6 平面直角坐标系中的距离公式 第2课时 点到直线的距离公式 第3课时 两条平行直线间的距离公式 第一章 直线与圆 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课程标准 素养解读 1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式 2．掌握两条平行直线间的距离公式 3．会求点到直线的距离和两条平行直线间的距离 通过点到直线距离、两条平行直线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养 [情境引入] 在公路附近有一家乡村饭馆，现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路．请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短？ 提示：铺设一条从饭馆到公路的垂直道路，道路的长度最短． [知识梳理] [知识点一]　点到直线的距离　 1．点到直线的距离的概念：过一点向直线作垂线，则该点与　垂足　之间的距离，就是该点到直线的距离． 2．点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝　eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))　. 1.在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？ [提示]　要求直线的方程应化为一般式． [知识点二]　两平行直线间的距离　 1．两条平行直线间的距离的概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的　公垂线段　的长． 2．两条平行直线间的距离的求法：两条平行直线间的距离转化为　点到直线　的距离． 3．两条平行直线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝　eq \f(|C2－C1|,\r(A2＋B2) )　. 2.在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？ [提示]　两条平行直线的方程都是一般式，且x, y对应的系数应分别相等． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.(×) (2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.(√) (3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为eq \f(|m－2n|,\r(2)).(√) 2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　) A．1　　　　　　　　 B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5) 解析：D　[利用点到直线的距离公式可得：原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝eq \f(|0＋0－5|,\r(12＋22))＝eq \r(5).] 3．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为(　　) A．3 B．2 C．1 D.eq \f(1,2) 解析：C　[d＝eq \f(|－7－－12|,\r(32＋42))＝1.] 4．已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的距离为eq \r(2) ，则a＝　________　. 解析：d＝eq \f(|－1－a|,\r(12＋12))＝eq \f(|a＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，∴|a＋1|＝2，∴a＝－3或a＝1. 答案：－3或1 点到直线的距离 [例1]　求点P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,4)；(2)y＝6；(3)x＝4. [解]　(1)把方程y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,4)写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝eq \f(|3×3－4×－2＋1|,\r(32＋－42))＝eq \f(18,5). (2)法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝eq \f(|0×3＋－2－6|,\r(02＋12))＝8. 法二：因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8. (3)因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1. 点到直线距离的求解方法 (1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式． (2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合． [变式训练] 1．求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1,0)的距离是eq \f(3\r(10),5)的直线l的方程． 解：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知： d＝eq \f(|3×－1－0＋m|,\r(32＋－12))＝eq \f(|m－3|,\r(10))＝eq \f(3\r(10),5). 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 两条平行线间的距离 [例2]　已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程. [思路点拨]　由题设知l1∥l2，故l∥l1∥l2，设出l的方程，利用距离公式表示出d1，d2.进而求出直线方程． [解]　由直线l1，l2的方程知l1∥l2.又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)． 设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d1＝eq \f(|m＋1|,\r(13))，d2＝eq \f(|m＋13|,\r(13))，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|， 解得m＝－25或m＝－9.故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0. 求两条平行线间距离的方法 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝eq \f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)). 但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． [变式训练] 2．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程． 解：∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0， 根据两平行直线间的距离公式得eq \f(|b－6|,\r(52＋－122))＝3，解得b＝45或b＝－33. 所以所求直线方程为：5x－12y＋45＝0，或5x－12y－33＝0. 距离公式的综合应用 [例3]　已知直线l过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截的线段中点M在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程． [思路点拨]　可设出点M的坐标，利用点M到两直线的距离相等，求出点M的坐标，再用两点式写出直线的方程，也可先求出与l1，l2平行且等距离的直线方程，再与x＋y－3＝0联立求出点M的坐标，最后由两点式写出直线方程． [解]　方法一　∵点M在直线x＋y－3＝0上， ∴设点M的坐标为(t,3－t)，则点M到l1，l2的距离相等，即eq \f(|t－3－t＋1|,\r(2))＝eq \f(|t－3－t－1|,\r(2))，解得t＝eq \f(3,2)，∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2))).又l过点A(2,4)，由两点式得eq \f(y－\f(3,2),4－\f(3,2))＝eq \f(x－\f(3,2),2－\f(3,2))，即5x－y－6＝0，故直线l的方程为5x－y－6＝0. 方法二　设与l1，l2平行且距离相等的直线l3：x－y＋C＝0，由两平行直线间的距离公式得eq \f(|C－1|,\r(2))＝eq \f(|C＋1|,\r(2))，解得C＝0，即l3：x－y＝0. 由题意得中点M在l3上，点M在x＋y－3＝0上． 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y－3＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(3,2).))∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2))).又l过点A(2,4)，故由两点式得直线l的方程为5x－y－6＝0. 距离公式综合应用的三种常用类型 (1)最值问题． ①利用对称转化为两点之间的距离问题． ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． (2)求参数问题． 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题． －立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解． [变式训练] 3．求过点(3,5)的所有直线中，距原点最远的直线方程． 解：设过点(3,5)的直线方程为y－5＝k(x－3)或x＝3.对于y－5＝k(x－3)，原点(0,0)到它的距离d＝eq \f(|3k－5|,\r(k2＋1))，化简整理得(9－d2)k2－30k＋25－d2＝0. 当9－d2≠0时，因k∈R，∴Δ＝(－30)2－4(9－d2)(25－d2)≥0.解得0≤d≤ eq \r(34)(且d≠3)． 对于x＝3，原点到它的距离d＝3. 因此，过点(3,5)的所有直线与原点的距离d∈[0，eq \r(34) ]． 故dmax＝eq \r(34)，当d＝eq \r(34)时，eq \f(|3k－5|,\r(k2＋1))＝eq \r(34)，解得k＝－eq \f(3,5).故所求直线方程为：y－5＝－eq \f(3,5)(x－3)，即3x＋5y－34＝0. [当堂达标] 1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　) A．7　　 B．5　　　 C．3　　　 D．2 解析：A　[直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.] 2．(多选)到直线2x＋y＋1＝0的距离等于eq \f(\r(5),5)的直线方程可能为(　　) A．2x－y＝0　　　　　 B．2x＋y－2＝0 C．2x＋y＝0 D．2x＋y＋2＝0 解析：CD　[因为所求与直线2x＋y＋1＝0的距离为eq \f(\r(5),5)，所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，∴d＝eq \f(|c－1|,\r(22＋12))＝eq \f(\r(5),5)，解得c＝0或c＝2， 故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.] 3．已知两点A(－3，－2)和B(－1,4)到直线x＋ay＋1＝0的距离相等，则实数a为　________　. 解析：∵两点A(－3，－2)，B(－1,4)到直线l：x＋ay＋1＝0的距离相等，∴eq \f(|－3－2a＋1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|－1＋4a＋1|,\r(a2＋1))，化为|2a＋2|＝|4a|.∴2a＋2＝±4a，解得a＝1或－eq \f(1,3). 答案：1或－eq \f(1,3) 4．已知直线l经过点(－2,3)，且原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程． 解：当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2. 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0，由d＝eq \f(|0－0＋2k＋3|,\r(1＋k2))＝2， 得k＝－eq \f(5,12)，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0. 综上可知，所求直线l的方程为x＝－2或5x＋12y－26＝0. $$