第1章 1.5 两条直线的交点坐标-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

1.5 两条直线的交点坐标 第一章 直线与圆 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课程标准 素养解读 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系 通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养 [情境引入] 在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，本节课我们学习的主要问题是两条直线的交点坐标 [知识梳理] [知识点一]　两直线的交点　 已知两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)两条直线l1，l2 交点的坐标就是两个方程的公共解，可通过求方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0，)) 得到两条直线l1，l2 交点的坐标． (2)若两直线方程组成的方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0，))有唯一解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝x0，,y＝y0，)) 则两条直线　相交　，交点坐标为(x0，y0)． [知识点二]　两直线的位置关系　 方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0))的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 两直线有公共点，两直线一定相交吗？ 提示：不一定，若两直线有无数个公共点，则两直线重合，当两直线有唯一公共点时，两直线才相交 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(√) (2)若两直线的斜率都存在且不等，则两直线相交．(√) (3)两直线的斜率一个存在，另一个不存在时，两直线也相交(√) (4)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(×) 2．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是(　　) A．(2,2)　　　　 B．(1,1) C．(1,2) D．(2,1) 解析：C　[由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))得交点坐标为(1,2)．] 3．直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是(　　) A．平行　　　　　 B．重合 C．相交 D．不确定 解析：C　[∵k1＝eq \f(3,2)，k2＝－eq \f(m2＋1,3)，∴k1≠k2，∴两直线相交．] 4．不论a为何实数，直线l：(a＋2)x－(a＋1)y＝2－a恒过一定点，则此定点的坐标为　________　. 解析：直线可化为a(x－y＋1)＋2x－y－2＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,2x－y－2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4.))定点坐标为(3,4)． 答案：(3,4) 两直线的交点问题 [例1]　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. [解]　(1)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y－7＝0，,3x＋2y－7＝0，))的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.))因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－6y＋4＝0，,4x－12y＋8＝0，))有无数个解，这表明直线l1和l2重合． (3)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x＋2y＋4＝0，,2x＋y－3＝0，))无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． [变式训练] 1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 解：(1)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3＝0,x－2y－1＝0))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，)) 所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＋2＝0，①,2x＋2y＋3＝0，②))①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. 经过两条直线交点的直线方程 [例2]　(1)求经过点P(1,0)和两直线l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0交点的直线方程； (2)无论实数a取何值，方程(a－1)x－y＋2a－1＝0表示的直线恒过定点，试求该定点． [思路点拨]　(1)设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0，再将x＝1，y＝0代入求出λ，即得所求直线方程． (2)将直线方程改写为－x－y－1＋a(x＋2)＝0. 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x－y－1＝0，,x＋2＝0，))得直线所过定点． [解]　(1)设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0. ∵点P(1,0)在直线上，∴1－2＋λ(3＋2)＝0. ∴λ＝eq \f(1,5).∴所求方程为x＋2y－2＋eq \f(1,5)(3x－2y＋2)＝0，即x＋y－1＝0. (2)由(a－1)x－y＋2a－1＝0，得－x－y－1＋a(x＋2)＝0.所以，已知直线恒过直线－x－y－1＝0与直线x＋2＝0的交点． 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x－y－1＝0，,x＋2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.)) 所以方程(a－1)x－y＋2a－1＝0表示的直线恒过定点(－2,1)． 利用直线系方程求直线的方程 经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(它不能表示直线l2)．反之，当直线的方程写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0时，直线一定过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点． [变式训练] 2．(1)已知直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　) A．2x＋y＝0　　　 B．2x－y＝0 C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0 (2)求证：无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标． 解析：(1)B　[(方法1)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋8＝0,x－y－1＝0))得交点为(－1，－2)．又直线l经过原点，由两点式得其方程为eq \f(y－0,－2－0)＝eq \f(x－0,－1－0)，即2x－y＝0. (方法2)设直线l的方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，因其过原点，所以8＋(－λ)＝0，λ＝8，直线l的方程为2x－y＝0.] (2)法一：　当k＝1时，直线方程为x＝1. 当k＝0时，直线方程为x＋y＝0. 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＋y＝0))得交点P(1，－1)，将P(1，－1)代入原方程左边得k＋1－(k－1)×(－1)－2k＝k＋1＋k－1－2k＝0，即点P的坐标总适合直线方程． ∴无论k取何实数，点P(1，－1)总在直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0上． 法二：将原方程化为k(x－y－2)＋x＋y＝0， 要使其对任意实数k恒成立， 则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0，,x＋y＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.)) ∴不论k为何实数，原直线都过定点(1，－1)． 与直线有关的对称问题 [例3]　求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程． [思路点拨]　思路一，直线l2过直线l1与直线l的交点，再在直线l1上取一点，求出该点关于直线l的对称点从而得解；思路二，设M(x0，y0)是直线l1上任意一点，它关于直线l的对称点为N(x，y)，利用直线l垂直平分线段MN求解． [解]　方法一　解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y－4＝0，,x－y＋2＝0，))得直线l1与直线l的交点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(8,3))). 在直线l1上取一点B(2,0)， 设点B关于直线l的对称点为C(x，y)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,2)－\f(y,2)＋2＝0，,\f(y,x－2)＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝4，))即C(－2,4)． 又直线l2过Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(8,3)))和C(－2,4)两点， 故由两点式得直线l2的方程为eq \f(y－4,\f(8,3)－4)＝eq \f(x＋2,\f(2,3)＋2)， 即x＋2y－6＝0. 方法二　设M(x0，y0)是直线l1上任意一点，它关于直线l的对称点为N(x，y)，则线段MN的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)，\f(y＋y0,2)))，直线MN的斜率为eq \f(y－y0,x－x0). 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,\f(y－y0,x－x0)＝－1，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝y－2，,y0＝x＋2.)) 因为M(x0，y0)在直线l1上， 所以2x0＋y0－4＝0，即2(y－2)＋(x＋2)－4＝0， 所以直线l2的方程为x＋2y－6＝0. 解决对称问题的方法 (1)中心对称 ①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点 P′(x′，y′)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.)) ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称 ①点Q(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为Q′(m，n)， 则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.)) ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． [变式训练] 3．试求直线l1：x－y－2＝0关于直线l2：3x－y＋3＝0对称的直线l的方程． 解：设所求直线l上一点P(x，y)，则在直线l1上必存在一点Q(x0，y0)与点P关于直线l2对称． 由题设知PQ与直线l2垂直，且线段PQ的中点 Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)，\f(y＋y0,2)))在直线l2上． ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y0－y,x0－x)·3＝－1，,3×\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋3＝0，)) 变形得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝\f(3y－4x－9,5)，,y0＝\f(3x＋4y＋3,5)，)) 代入直线l1：x－y－2＝0， 得eq \f(3y－4x－9,5)－eq \f(3x＋4y＋3,5)－2＝0， 整理得7x＋y＋22＝0. ∴所求直线方程为7x＋y＋22＝0. [当堂达标] 1．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点是(　　) A．(5,2) B．(2,3) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3)) D．(5,9) 解析：B　[(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0可化为k(2x－y－1)－x－3y＋11＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋3y－11＝0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))即直线恒过定点(2,3)．] 2．(多选)当0＜k＜eq \f(1,2)时，直线l1：kx－y－k＋1＝0与直线l2：ky－x－2k＝0的交点可能是(　　) A．(2,3) B．(1,2) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3))) 解析：CD　[由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(kx－y－k＋1＝0，,ky－x－2k＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,k－1)，,y＝\f(2k－1,k－1)，))把各个选项代入验证即可．] 3．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线方程为(　　) A．19x－9y＝0　　　　 B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0 解析：D　[联立直线l1，l2的方程 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3y＋4＝0，,2x＋y＋5＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(19,7)，,y＝\f(3,7)，))即直线l1与l2的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,7)，\f(3,7)))，故所求的直线方程为y＝－eq \f(3,19)x，即3x＋19y＝0.] 4．直线l1：x＋by＝1与直线l2：x－y＝a的交点坐标为(0,2)，则a＝　________　，b＝　________　. 解析：将点(0,2)代入直线x＋by＝1，解得b＝eq \f(1,2)，在将点(0.2)代入直线x－y＝a，解得a＝－2， 答案：－2；eq \f(1,2) 5．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，求反射光线所在直线的方程． 解：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－－3)＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)， 所以所求直线的方程为eq \f(y－0,6－0)＝eq \f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0. $$