第1章 1.4 两条直线的平行与垂直-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

1.4 两条直线的平行与垂直 第一章 直线与圆 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课程标准 素养解读 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件 2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直 3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题 通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养 [情境引入] 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理．过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？ [知识梳理] [知识点一]　两条直线平行　 两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2) 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2≠eq \f(π,2) α1＝α2＝eq \f(π,2) 对应关系 l1∥l2⇔　k1＝k2　 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示 1.如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？ [提示]　不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等． [知识点二]　两条直线垂直　 两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率　不存在　，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2. 图示 2.如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？ [提示]　不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，若两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．(×) (2)若l1∥l2，则k1＝k2.(×) (3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．(×) (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．(√) 2．经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l1与直线l2y＝－x＋1平行，则实数x的值为(　　) A．0　　 B．－6　　　 C．6　　　 D．3 解析：C　[直线l1的斜率k1＝eq \f(x－3,－1－2)＝eq \f(3－x,3)，由题意可知eq \f(3－x,3)＝－1，∴x＝6.] 3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 解析：C　[由于直线x－2y－2＝0的斜率为eq \f(1,2)， 故所求直线的斜率等于－2，故所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.] 4．已知直线l1经过点(4,5)且与直线l2：mx－my＋1＝0(m≠0)平行，则直线l1的一般式方程为　_________________________　. 解析：∵直线l2：mx－my＋1＝0(m≠0)， ∴直线l2：y＝x＋eq \f(1,m)(m≠0) ∴kl2＝1，又∵直线l1经过点(4,5)且与直线l2：mx－my＋1＝0(m≠0)平行， ∴直线l1：y－5＝x－4，即x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0 两条直线平行与垂直的判定 [例1]　判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由． (1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0； (3)l1：x＝2，l2：x＝4； (4)l1：y＝－3，l2：x＝1. [思路点拨]　斜率存在的直线求出斜率，利用l1∥l2⇔k1＝k2或k1k2＝－1进行判断，若两直线斜率都不存在或其中一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，可通过观察并结合图形得出结论． [解]　(1)将两直线方程分别化为斜截式： l1：y＝－eq \f(3,5)x＋eq \f(6,5)，l2：y＝－eq \f(3,5)x－eq \f(3,10). 则k1＝－eq \f(3,5)，b1＝eq \f(6,5)，k2＝－eq \f(3,5)，b2＝－eq \f(3,10). ∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2. (2)将两直线方程分别化为斜截式： l1：y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(7,3)，l2：y＝－2x＋2. 则k1＝eq \f(1,2)，k2＝－2.∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2. (3)由方程知l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两直线在x轴上的截距不相等，则l1∥l2. (4)由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2. 已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法 (1)若两直线l1与l2的斜率均存在，当k1·k2＝－1时，l1⊥l2；当k1＝k2，且它们在y轴上的截距不相等时，l1∥l2； (2)若两直线斜率均不存在，且在x轴的截距不相等，则它们平行； (3)若有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则它们垂直． [变式训练] 1．已知A(0，－1)，B(－2a,0)，C(1,1)，D(2,4)，若直线AB与直线CD垂直，则a的值为　________　. 解析：∵kCD＝eq \f(4－1,2－1)＝3，kAB＝eq \f(－1,2a)，AB⊥CD，∴kAB·kCD＝eq \f(－1,2a)×3＝－1，解得a＝eq \f(3,2). 答案：eq \f(3,2) 2．直线l1：2x＋3y－2＝0，l2：2x＋3y＋2＝0的位置关系是(　　) A．垂直　　　　 B．平行 C．相交 D．重合 解析：B　[∵k1＝－eq \f(2,3)，b1＝eq \f(2,3)，k2＝－eq \f(2,3)， b2＝－eq \f(2,3)，∴k1＝k2且b1≠b2，∴l1∥l2.] 利用平行、垂直关系求直线方程 [例2]　已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0. 求：(1)过点A和直线l平行的直线方程； (2)过点A和直线l垂直的直线方程． [思路点拨]　 法一：由直线l：3x＋4y－20＝0.求其斜率，再求与其平行和垂直的直线的斜率，由点斜式求方程；法二：设直线系3x＋4y＋m＝0和4x－3y＋m＝0.利用待定系数法求解． [解]　法一：(1)由l：3x＋4y－20＝0，得kl＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))).设过A点且平行于l的直线为l1，则kl1＝kl＝－eq \f(3,4)，所以l1的方程为y－2＝－eq \f(3,4)(x－2)，即3x＋4y－14＝0. (2)设过点A与l垂直的直线为l2. 因为kl·kl2＝－1，所以kl2＝eq \f(4,3)，故直线l2的方程为y－2＝eq \f(4,3)(x－2)，即4x－3y－2＝0. 法二：(1)设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0.由点A(2,2)在直线l1上，得3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14，故直线l1的方程为3x＋4y－14＝0. (2)设过点A与l垂直的直线l2的方程为4x－3y＋m＝0.因为l2经过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2，故l2的方程为4x－3y－2＝0. 过点A(x0，y0)且与直线Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程的求法有两种方法： (1)先求斜率(斜率存在时)，再用点斜式求直线方程． (2)与Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)或Bx－Ay＋m＝0，再利用所求直线过点A(x0，y0)求出m，便可得到直线方程． [变式训练] 3．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是(　　) A．2x－3y＋5＝0 B．2x－3y＋8＝0 C．3x＋2y－1＝0 D．3x＋2y＋7＝0 解析：C　[设直线l的方程为3x＋2y＋C＝0，将点(－1,2)代入得－3＋4＋C＝0，∴C＝－1，∴直线l的方程为3x＋2y－1＝0.] 4．过点(－1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 解析：B　[设直线方程为x－2y＋C＝0(C≠－2)，将(－1,0)代入上式，得C＝1，所求方程为x－2y＋1＝0.] 由两直线的位置关系求参数 [例3]　(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ [解]　(1)方法一　 ①当m＝0时，显然l1与l2不平行． ②当m≠0时，l1∥l2，需eq \f(2,m)＝eq \f(m＋1,3)≠eq \f(4,－2).解得m＝2或m＝－3.∴m的值为2或－3. 方法二　 令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2. 当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然l1与l2不重合，∴l1∥l2. 同理当m＝2时，l1∶2x＋3y＋4＝0，l2∶2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2，∴m的值为2或－3. (2)方法一　由题意，直线l1⊥l2， ①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直． ②若2a＋3＝0，即a＝－eq \f(3,2)时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直． ③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－eq \f(a＋2,1－a)，k2＝－eq \f(a－1,2a＋3)，当l1⊥l2时，k1·k2＝－1， 即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a＋2,1－a)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a－1,2a＋3)))＝－1，所以a＝－1. 综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 方法二　由直线l1⊥l2， 得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， 解得a＝±1. 将a＝±1代入方程，均满足题意．故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 一般式方程的两直线位置关系的表示 直线方程 l1∶A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \o\al(2,1)＋Beq \o\al(2,1)≠0) l2∶A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \o\al(2,2)＋Beq \o\al(2,2)≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 eq \f(A1,A2) ＝eq \f(B1,B2) ≠eq \f(C1,C2) (A2B2C2≠0) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，B1C2－B2C1≠0，)) [变式训练] 5．(1)当m为何值时，直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，互相平行？. (2)当a为何值时，直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.互相垂直？ 解：(1)∵直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， ∴A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3， C2＝2m. 若l1∥l2，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3－mm－2＝0，,2m2－18≠0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－2m－3＝0，,m2≠9，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝3或m＝－1，,m≠3且m≠－3，)) ∴m＝－1.故当m＝－1时，直线l1与l2平行． (2)由a×1＋2×(a－1)＝0，解得a＝eq \f(2,3).∴当l1⊥l2时，a的值为eq \f(2,3). 两直线平行与垂直的综合应用 [例4]　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状． [解]　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图： 由斜率公式可得 kAB＝eq \f(5－3,2－－4)＝eq \f(1,3)，kCD＝eq \f(0－3,－3－6)＝eq \f(1,3)，kAD＝eq \f(0－3,－3－－4)＝－3， kBC＝eq \f(3－5,6－2)＝－eq \f(1,2)， ∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD. 由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行．又kAB·kAD＝eq \f(1,3)×(－3)＝－1，∴AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形． (1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定． (2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形． (3)明确运算对象，探究运算思路，是对数学运算的数学核心素养的考查． [变式训练] 6．已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5,2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．(A，B，C，D按逆时针方向排列) 解：①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)， 由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)． ②若∠A＝∠B＝90°，如图(2)． 设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝eq \f(b－2,a－1)，kAB＝eq \f(b＋1,a－6). 由AD∥BC，得kAD＝kBC，即eq \f(b－2,a－1)＝－3；① 由AB⊥BC，得kAB·kBC＝－1，即eq \f(b＋1,a－6)·(－3)＝－1.② 由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(12,5)，,b＝－\f(11,5)，))故Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，－\f(11,5))). 综上所述，A点坐标为(1，－1)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，－\f(11,5))). [当堂达标] 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2 B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1 C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定垂直于x轴 D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行 解析：CD　[对A，两直线倾斜角相等，可能重合；对B，若l1⊥l2，l1与l2中可能一条斜率不存在，另一条斜率为0；对C，若直线斜率不存在，直线一定垂直于x轴，正确；对D，若两条直线斜率不相等，则两条直线一定不平行， D正确．] 2．己知直线l1：x＋y＋2＝0与l2：x－y－1＝0，则这两条直线的位置关系是(　　) A．重合　　　　　 B．平行 C．垂直 D．不能确定 解析：C　[因为直线l1：x＋y＋2＝0的斜率为：k1＝－1，直线l2：x－y－1＝0的斜率为k2＝1，所以k1·k2＝－1，所以这两条直线的位置关系是垂直．] 3．平行于直线4x＋3y－3＝0，且不过第一象限的直线的方程是(　　) A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 解析：B　[平行于直线4x＋3y－3＝0的直线具有形式4x＋3y＋c＝0，故排除A、D.但选项C中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件，故应选B.] 4．已知直线l1：(m＋2)x＋(m＋3)y－5＝0和l2：6x＋(2m－1)y－5＝0，问实数m为何值时，分别有： (1)l1∥l2？(2) l1⊥l2? 解： (1)∵直线l1：(m＋2)x＋(m＋3)y－5＝0， l2∶6x＋(2m－1)y－5＝0，l1与l2平行， ∴eq \f(m＋2,6)＝eq \f(m＋3,2m－1)≠eq \f(－5,－5)，解得m＝－eq \f(5,2). (2)∵直线l1：(m＋2)x＋(m＋3)y－5＝0， l2：6x＋(2m－1)y－5＝0， l1⊥l2，∴(m＋2)×6＋(m＋3)(2m－1)＝0，解得m＝－1或m＝－9. $$