第1章 1.3 第2课时 直线方程的两点式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

1.3 直线的方程 第2课时 直线方程的两点式 第一章 直线与圆 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课程标准 素养解读 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围 2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围 3．会熟练应用两点式、截距式方程求直线的方程 1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学素养 2．通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学素养 [情境引入] 我们知道在直角坐标系内确定一条直线的几何要素：点和倾斜角(斜率)，即已知直线上的一点和直线的斜率可以确定一条直线，或已知两点也可以确定一条直线。这样，在直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程。若给定直线上两点P1(x1，y1)P2(x2，y2)，你能否得出直线的方程呢？ [知识梳理] [知识点一]　直线的两点式方程　 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两点式 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)， 其中x1≠x2，y1≠y2 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) 斜率存在且不为0 1.过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ [提示]　不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． [知识点二]　直线的截距式方程　 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1 斜率存在且不为0，不过原点 2.方程eq \f(x,2)－eq \f(y,3)＝1和eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝－1都是直线的截距式方程吗？ [提示]　都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1表示．(×) (2)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．(√) (3)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(√) (4)直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.(√) 2．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是(　　) A．x＋y＋1＝0　　　 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0 解析：D　[过点A，B的直线方程为eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－3,4－3)，即x－y－1＝0.] 3．过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是(　　) A.eq \f(x,3)＋eq \f(y,2)＝0 B.eq \f(x,2)－eq \f(y,3)＝0 C.eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝1 D.eq \f(x,2)－eq \f(y,3)＝1 解析：C　[由截距式得，所求直线的方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝1.] 4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为　________　. 解析：直线方程为eq \f(y－9,1－9)＝eq \f(x－3,－1－3)，化为截距式为eq \f(x,－\f(3,2))＋eq \f(y,3)＝1，则在x轴上的截距为－eq \f(3,2). 答案：－eq \f(3,2) 直线的两点式方程 [例1]　已知三角形的三个顶点A(－4,0)，B(0，－3)，C(－2,1)，求： (1)BC边所在的直线方程； (2)BC边上中线所在的直线方程． [思路点拨]　已知直线上两个点的坐标，可以利用两点式写出直线的方程． [解]　(1)直线BC过点B(0，－3)，C(－2,1)，由两点式方程得eq \f(y＋3,1＋3)＝eq \f(x－0,－2－0)，化简得2x＋y＋3＝0. (2)由中点坐标公式，得BC的中点D的坐标为(eq \f(0－2,2)，eq \f(－3＋1,2))，即D(－1，－1)． 又直线AD过点A(－4,0)，由两点式方程得eq \f(y＋1,0＋1)＝eq \f(x＋1,－4＋1)，化简得x＋3y＋4＝0. 两点式方程的应用 用两点式方程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时，不能用两点式．已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程． [变式训练] 1．求经过下列两点的直线方程： (1)A(5,4)，B(4,3)； (2)A(2,1)，B(3,1)； (3)A(2,1)，B(2，－1)． 解：(1)由两点式，得所求方程为eq \f(y－3,4－3)＝eq \f(x－4,5－4)， 即x－y－1＝0. (2)由于A，B两点的纵坐标相等，故不能用两点式，所求的直线方程为y＝1. (3)由于A，B两点的横坐标相等，故不能用两点式，所求的直线方程为x＝2. 直线的截距式方程 [例2]　求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程． [思路点拨] [解]　法一：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b. ①当a≠0，b≠0时，设l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴eq \f(4,a)＋eq \f(－3,b)＝1， 若a＝b，则a＝b＝1，直线l的方程为x＋y－1＝0. 若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线l的方程为x－y－7＝0. ②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线l的方程为3x＋4y＝0. 综上知，所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0. 法二：设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)， 令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝eq \f(4k＋3,k). ∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等． ∴|－4k－3|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4k＋3,k)))，解得k＝1或k＝－1或k＝－eq \f(3,4).∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0. 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． [变式训练] 2．(1)求在x，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程； (2)求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 解：(1)根据直线方程的截距式，得直线方程为eq \f(x,－3)＋eq \f(y,4)＝1，化简得4x－3y＋12＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1. 又因为l过点A(3,4)，所以eq \f(3,a)＋eq \f(4,－a)＝1，解得a＝－1.所以直线l的方程为eq \f(x,－1)＋eq \f(y,1)＝1，即x－y＋1＝0.当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，直线的方程为y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 直线方程的综合应用 [例3]　已知直线l过点M(1,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求： (1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程； (2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程． [解]　(1)设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)． 设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2＋2eq \r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. (2)设直线l的斜率为k，则k<0，直线l的方程为y－1＝k(x－1)，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k)，0))，B(0,1－k)，所以|MA|2＋|MB|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－1＋\f(1,k)))2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋eq \f(1,k2)≥2＋2eq \r(k2·\f(1,k2))＝4， 当且仅当k2＝eq \f(1,k2)，即k＝－1时等号成立，此时直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. [思路点拨]　(1)设出直线的截距式方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，利用a，b表示出|OB|＋|OA|，用基本不等式求解．(2)设出直线l的方程y－1＝k(x－1)，求出截距，表示出|MB|2＋|MA|2，用基本不等式求解． 直线方程综合问题的两大类型及解法 (1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决． (2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决． [变式训练] 3．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为(　　) A．1　　　 B．2　　　　 C．4　　　　 D．8 解析：C　[∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，∴a＋b＝ab，即eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，∴a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4， 当且仅当a＝b＝2时上式等号成立． ∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.] [当堂达标] 1．过A(0,3)，B(－2,0)两点的直线的截距式方程为(　　) A.eq \f(x,3)＋eq \f(y,－2)＝1　　　　 B.eq \f(x,3) ＋eq \f(y,2) ＝1 C.eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝1 D.eq \f(x,－2)＋eq \f(y,3)＝1 解析：D　[由于直线过A(0,3)，B(－2,0)两点，∴直线在x轴，y轴上的截距分别为－2,3，由截距式可知，方程为eq \f(x,－2) ＋eq \f(y,3) ＝1.] 2．(多选)已知直线l过点(1,2)，且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等的直线方程可能是下列(　　) A．2x－y＝0 B．x＋y＝3 C．x－2y＝0 D．x－y＋1＝0 解析：ABD　[由题意设所求直线的横截距为a，(1)当a＝0时，由题意可设直线的方程为y＝kx，将(1,2)代入可得k＝2，∴直线的方程为2x－y＝0； (2)当a≠0时，由截距式方程可得直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1(截距相等)或eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1(截距相反)，将(1,2)代入可得a＝3或a＝－1，∴直线的方程为x＋y＝3或x－y＋1＝0.] 3．求经过A(1,2)，B(3,4)两点的直线方程　___________　. 解析：直线方程为eq \f(x－1,3－1)＝eq \f(y－2,4－2)，即x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0 4．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程． 解：设直线方程的截距式为eq \f(x,a＋1)＋eq \f(y,a)＝1.则eq \f(6,a＋1)＋eq \f(－2,a)＝1，解得a＝2或a＝1， 则直线方程是eq \f(x,2＋1)＋eq \f(y,2)＝1或eq \f(x,1＋1)＋eq \f(y,1)＝1， 即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0. $$