第1章 1.3 第1课时 直线方程的点斜式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

1.3 直线的方程 第1课时 直线方程的点斜式 第一章 直线与圆 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课程标准 素养解读 1.了解直线方程的点斜式的推导过程 2．掌握直线方程的点斜式并会应用 3．了解截距的概念，了解直线的斜截式方程与一次函数的关系 通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学素养. [情境引入] 笛卡尔出生于法国，毕业于普瓦捷大学，法国著名哲学家、物理学家、数学家，被黑格尔称为“近代哲学之父”． 笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的．依照这种思想他创立了“解析几何学”． 我们知道给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样，在平面直角坐标系中给定一个点P0(x0，y0)和斜率k就能唯一确定一条直线，也就是说这条直线上任意一点坐标(x，y)与点P0的坐标(x0，y0)和斜率k之间的关系是完全确定的，那么这一关系如何表示呢？ [知识梳理] [知识点一]　直线l的方程的概念　 一般地，如果一条直线l上　每一点　的坐标都是一个方程的解并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程 [知识点二]　直线的点斜式方程和斜截式方程　 名称 点斜式 斜截式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距　b　 图示 方程 y－y0＝　k(x－x0)　 　y＝kx＋b　 适用范围 斜率存在 特别地：(1)当直线的斜率为0，即k＝0时，直线l与x轴平行(或重合)直线l方程为y＝ y0 (2)当直线与x轴垂直时，则直线的斜率不存在，直线l的方程为x＝x0. 　直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ [提示]　不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线．( × ) (2)eq \f(y－y0,x－x0) ＝k与y－y0＝k(x－x0)都是直线的点斜式方程．( × ) (3)直线的斜截式方程y＝kx＋b即为一次函数的解析式．( × ) (4)直线的纵截距是直线与y轴交点的纵坐标．( √ ) 2．过点P(－2,0)，斜率为3的直线的方程是(　　) A．y＝3x－2　　　 B．y＝3x＋2 C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2) 解析：D　[由直线的点斜式方程可知，该直线方程为y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)，选D.] 3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1 解析：D　[由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上截距为－1，故直线方程为y＝－x－1，选D.] 4．无论k取何值，直线y－2＝k(x＋1)所过的定点是　________　. 答案：(－1,2) 直线的点斜式方程 [例1]　根据下列条件，求直线的方程： (1)经过点A(2,5)，斜率是4； (2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°； (3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行； (4)经过点D(1,1)，与x轴垂直． [思路点拨]　若直线的斜率存在，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)；若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝x0. [解]　(1)由点斜式方程可知，所求直线的方程为y－5＝4(x－2)，即4x－y－3＝0. (2)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan 45°＝1， ∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0. (3)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0， ∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1. (4)∵直线与x轴垂直，斜率不存在，∴不能用点斜式表示这条直线的方程，由于直线所有点的横坐标都是1，故这条直线方程为x＝1. 利用点斜式求直线方程的方法 (1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标．注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程； (2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程． 特别注意：斜率不存在时，可直接写出过点(x0，y0)的直线方程x＝x0. [变式训练] 1．根据条件写出下列直线方程的点斜式． (1)经过点A(－1,4)，倾斜角为45°； (2)经过原点，倾斜角为60°； (3)经过点D(－1,1)，倾斜角为0°. 解：(1)直线斜率为tan 45°＝1， ∴直线方程为y－4＝x＋1. (2)直线斜率为tan 60°＝eq \r(3)，∴所求直线的方程为y－0＝eq \r(3)(x－0)． (3)直线斜率为0，∴直线方程为y－1＝0×(x＋1)． 直线的斜截式方程 [例2]　求满足下列条件的直线方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距为－1； (2)倾斜角为直线y＝eq \r(3) x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2； [思路点拨]　　根据条件确定直线的斜率及直线在y轴上的截距，代入斜截式即可． [解]　(1)由题意得k＝2，b＝－1，由斜截式得y＝2x－1. (2)∵y＝eq \r(3)x＋1的斜率为eq \r(3)，∴其倾斜角为60°，故所求直线的倾斜角为30°，∴k＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，又b＝－2，∴所求直线方程为y＝eq \f(\r(3),3)x－2. 斜截式方程的求法 已知直线的斜率与y轴上的截距，可直接写出直线的方程；已知直线的斜截式方程，可得直线的斜率与y轴上的截距．直线的斜截式方程形式简单，特点明显，是运用较多的直线方程的形式之一． [变式训练] 2．(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程； (2)求过点A(6，－4)，斜率为－eq \f(4,3)的直线的斜截式方程； (3)已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率，在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标． 解：(1)易知k＝－1，b＝－2，故直线的斜截式方程为 y＝－x－2. (2)由于直线的斜率k＝－eq \f(4,3)，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－eq \f(4,3)(x－6)，化成斜截式为y＝－eq \f(4,3)x＋4. (3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)． 点斜式、斜截式的应用 [例3]　已知直线l经过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程． [思路点拨]　利用点斜式设出方程，求出纵横截距，利用三角形的面积为4列方程求解． [解]　显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，令x＝0，得y＝2k＋3，令y＝0，得x＝－eq \f(3,k)－2，于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2k＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,k)－2))))＝4， 即(2k＋3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)＋2))＝±8. 若(2k＋3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)＋2))＝8，则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解．若(2k＋3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)＋2))＝－8，则整理得4k2＋20k＋9＝0，解之，得k＝－eq \f(1,2)或k＝－eq \f(9,2). 所以直线l的方程为y－3＝－eq \f(1,2)(x＋2)或y－3＝－eq \f(9,2)(x＋2)，即y＝－eq \f(1,2)x＋2或y＝－eq \f(9,2)x－6. 求解与直线方程有关的三角形面积问题，应先设出斜率，写出直线方程，通过直线的纵、横截距列方程或建立目标函数，求解． [变式训练] 3．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程． 解：由题意知，直线l的斜率k存在且k<0，则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，且有Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,k)，0))，B(0,2－3k)， ∴S△ABO＝eq \f(1,2)(2－3k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,k)))＝eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋－9k＋\f(4,－k)))≥eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋2\r(－9k·\f(4,－k))))＝eq \f(1,2)×(12＋12)＝12，当且仅当－9k＝eq \f(4,－k)且k<0，即k＝－eq \f(2,3)时，等号成立．即△ABO的面积的最小值为12.故所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0. [当堂达标] 1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 解析：C　[方程可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以直线过点(－1，－2)，斜率为－1.选C.] 2．直线y＝kx＋b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则k，b满足(　　) A．k＞0，b＞0　 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0 解析：B　[由题图可知直线的倾斜角为钝角，且直线在y轴上的截距为负值，故k<0，b<0.] 3．倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是　________　. 解析：∵直线的倾斜角是60°，∴其斜率k＝tan 60°＝eq \r(3)，∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距是3或－3，∴所求直线的斜截式方程是y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3. 答案：y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3 4．直线l经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝eq \r(3)x＋eq \r(3)的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程． 解：直线y＝eq \r(3)x＋eq \r(3)的斜率k＝eq \r(3)， 则其倾斜角α＝60°，所以直线l的倾斜角为120°. 直线l的斜率为k′＝tan 120°＝－eq \r(3). 所以直线l的点斜式方程为y－4＝－eq \r(3)(x－3)． $$