第1章 1.1 一次函数的图象与直线的方程&1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

§ 1 直线与直线的方程 1.1 一次函数的图象与直线的方程 1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系 第一章 直线与圆 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 直线与圆 数学（BS）·选择性必修第一册 课程标准 素养解读 1.在平面直角坐标系中，结合一次函数的图象，探索直线方程的建立 2．理解并掌握直线的倾斜角和斜率的概念 3．理解并掌握直线的斜率与倾斜角、方向向量的对应关系 1.通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养 2．通过直线的斜率、方向向量eq \o(P1P2,\s\up6(→))的的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养 [情境引入] 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝eq \f(上升高度,水平距离)＝eq \f(DB,AD).k>0表示上坡，k<0表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ [知识梳理] [知识点一]　一次函数的图象与直线的方程　 一般地，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，它是以满足y＝kx＋b的每一对x, y值为坐标的点构成的，同时函数解析式y＝kx＋b可以看作二元一次方程。 [知识点二]　直线的倾斜角　 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角 规定 当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为　0　　 记法 α 图示 范围 [0，π) 作用 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线的　倾斜程度　　，倾斜角越接近eq \f(π,2) ，　倾斜程度　越大 1.如图中标的倾斜角α对不对？ [提示]　都不对． [知识点三]　直线的斜率　 如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记Δx＝x2－x1(Δx　≠　0)，Δy＝y2－y1，则在直线l上点P1平移到点P2，相当于在横轴上改变了Δx，即横坐标的改变量为Δx，在纵轴上改变了Δy，即纵坐标的改变量为Δy.因此，比值k＝eq \f(Δy,Δx) 反映了直线l的倾斜程度． 由图可知，k＝eq \f(Δy,Δx) 的大小与两点P1，P2在直线上的位置无关，称k＝　eq \f(y2－y1,x2－x1)　(其中x1　≠　x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． 2.所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？ [提示]　不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°. [知识点四]　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系　 1．由正切函数的概念可知，倾斜角不是eq \f(π,2) 的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足k＝　tan α　(其中α≠eq \f(π,2) ,0≤α＜π)． 2．结合正切函数的图象与性质，发现斜率k与倾斜角α有如下关系： 图示 倾斜角 (范围) α＝0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) α＝eq \f(π,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3．如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．由平面向量的知识可知，向量eq \o(P1P2,\s\up16(→))是直线l的方向向量，它的坐标是　(x2－x1，y2－y1)　，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量eq \o(P1P2,\s\up16(→))分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度，它们之间的关系是k＝eq \f(y2－y1,x2－x1) ＝tan α(其中x1≠x2)． 若k是直线l的斜率，则v＝(1，　k　)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝eq \f(y,x) . 3.在同一直线(与x轴不重合)上任意取不同的两点的坐标计算的斜率都相等吗？ [提示]　相等．对于一条直线来说其斜率是一个定值，与所选择点的位置无关，所以取任意不同的两点的坐标计算同一条直线的斜率一定相等． 4．设l是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45°，你能写出该直线的方向向量吗？ [提示]　(1,1)． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法．(×) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(×) (3)一个倾斜角α不能确定一条直线．(√) (4)斜率公式与两点的顺序无关．(√) (5)直线的方向向量与法向量不唯一．(√) 2．如图所示，直线l的倾斜角为(　　) A．45°　　B．135°　　C．0°　　D．不存在 解析：B　[由倾斜角的定义知直线l的倾斜角为135°.] 3．直线l经过点A(2,1)和B(－5，－2)，则直线l的一个方向向量为　________　. 解析：[eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－5－2，－2－1)＝(－7，－3)．] 答案：(－7，－3) 4．一条直线的斜率等于1，则此直线的倾斜角等于　________　. 解析：∵k＝tan α＝1.∴α＝45°. 答案：45° 直线的倾斜角 [例1]　已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？ [思路点拨]　画草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角 [解]　由题意画出草图．由图可知： 当α为钝角时，倾斜角为α－90°， 当α为锐角时，倾斜角为α＋90°， 当α为直角时，倾斜角为0°. 综上，直线l转动前的倾斜角为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＋90°0°<α<90°，,α－90°90°≤α<180°.)) 　求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [变式训练] 1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α　　　　　　　　　　 B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 解析：D　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 斜率的计算 [例2]　(1)已知直线l过点A(－1，eq \r(3))，B(2，m)两点，若直线l的倾斜角是eq \f(2π,3)，则m＝(　　) A．－2eq \r(3)　 B．0　　C．2eq \r(3)　　 D．4eq \r(3) (2)一条直线过点A(1.0)和B(－2,3)，则该直线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．150° [解析]　(1)设直线l的斜率为k，则k＝eq \f(m－\r(3),2＋1)＝ taneq \f(2π,3)＝－eq \r(3)，故m＝－2eq \r(3). (2)一条直线过点A(1,0)和B(－2,3)，则该直线的斜率为eq \f(3－0,－2－1)＝－1，故该直线的倾斜角为135°. [答案]　(1)A　(2)C [思路点拨]　(1)根据条件，由斜率公式得到关于m的方程，再求出m的值． (2)由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的倾斜角． 直线斜率的计算方法 (1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在． (2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(其中x1≠x2)进行计算． [变式训练] 2．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m,1)． (1)当m为何值时，直线l的斜率是1? (2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？ 解：(1)kMN＝eq \f(m－1－1,m＋1－2m)＝1，解得m＝eq \f(3,2). (2)l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1. 直线倾斜角与斜率、方向向量的关系 [例3]　已知直线l通过点A(1,2)，B(4,5)，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率与倾斜角． [思路点拨]　利用方向向量定义eq \o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)求解 [解]　eq \o(AB,\s\up16(→))＝(4－1,5－2)＝(3,3)是直线l的一个方向向量．因此直线的斜率k＝1，直线的倾斜角θ满足tan θ＝1，从而可知θ＝45°. 求方向向量的方法 (1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上的两个不同的点，则直线l的方向向量为eq \o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)． (2)直线的方向向量不唯一． [变式训练] 3．已知直线l经过点M(3,3)和N(2,3＋eq \r(3))，求直线l的一个方向向量和法向量，并求直线l的斜率和倾斜角． 解：eq \o(MN,\s\up16(→))＝(2－3,3＋eq \r(3)－3)＝(－1，eq \r(3))，∴直线l的一个方向向量为(－1，eq \r(3))，由于法向量与方向向量垂直．∴法向量v＝(eq \r(3)，1)，斜率k＝eq \f(3＋\r(3)－3,2－3)＝－eq \r(3)，由tan θ＝－eq \r(3)知θ＝120°. 直线倾斜角与斜率的综合 [例4]　(1)已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． ①求直线l的斜率k的取值范围； ②求直线l的倾斜角α的取值范围． (2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值． [思路点拨] (1)eq \x(作图) eq \o(―――――→,\s\up12(直线与线段,有公共点)) eq \x(\a\al(倾斜角介,于直线PB)) eq \x(\a\al(与PA的倾,斜角之间)) eq \o(――→,\s\up15(求斜率)) eq \x(\a\al(求斜率范围及,倾斜角范围)) (2)已知直线l的倾斜角，可以求出其斜率，又点P1，P2，P3均在直线l上，故任意两点连线的斜率均等于直线l的斜率，从而可以解出x2，y1的值． [解]　(1)如图所示，由题意可知kPA＝eq \f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq \f(2－0,3－1)＝1. ①要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1. ②由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. (2)∵α＝45°，∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1. ∵点P1，P2，P3都在直线l上，∴kP1P2＝kP2P3 ∴eq \f(5－y1,x2－2)＝eq \f(1－5,3－x2)＝1，解得x2＝7，y1＝0. (1)求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围． (2)利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在． (3)eq \f(y2－y1,x2－x1)的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题． [变式训练] 4．(1)设点A(3，－5)，B(－2，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．(－∞，－3 ]∪[1，＋∞)　　　 B. [－3,1] C．[－1,3] D．以上都不对 (2)已知点A(1,1)，B(0，－1)，C(a，b)在同一直线上，则2a－b＝　____________　. (1)A　[如图所示， 直线PB，PA的斜率分别为kPB＝1，kPA＝－3， 结合图形可知k≥1或k≤－3.] (2)解析：三点A(1,1)，B(0，－1)，C(a，b)在同一直线上，∴kAB＝kBC，∴eq \f(－1－1,0－1)＝eq \f(－1－b,0－a)，化为：2a－b＝1.故答案为：1. 答案：1 [当堂达标] 1．过点A(－eq \r(3)，eq \r(2))与点B(－eq \r(2)，eq \r(3))的直线的倾斜角为(　　) A．45°　　　　　　　 B．135° C．45°或135° D．60° 解析：A　[kAB＝eq \f(\r(3)－\r(2),－\r(2)－－\r(3))＝eq \f(\r(3)－\r(2),\r(3)－\r(2))＝1，故直线的倾斜角为45°.] 2．若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于(　　) A．1±eq \r(2) 或0 B.eq \f(2－\r(5),2) 或0 C.eq \f(2±\r(5),2) D.eq \f(2＋\r(5),2) 或0 解析：A　[∵平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)， C(3，a3)共线，∴kAB＝kAC，即eq \f(a2＋a,2－1)＝eq \f(a3＋a,3－1)， 即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±eq \r(2).] 3．直线l的一个方向向量d＝(3，eq \r(3))，则直线l的倾斜角是　________　，直线的斜率是　________　. 解析：由d＝(3，eq \r(3))＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，设c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，则d∥c，由向量d＝(3，eq \r(3))是直线l的一个方向向量，则c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))也为直线l的一个方向向量．则直线l的斜率为eq \f(\r(3),3)，所以倾斜角为eq \f(π,6). 答案：eq \f(π,6)；eq \f(\r(3),3) 4．直线l经过A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，求直线l的倾斜角α的取值范围． 解：直线l的斜率k＝eq \f(1＋m2,3－2) ＝1＋m2≥1，所以k＝tan α≥1.又y＝tan α在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 上是增函数，因此eq \f(π,4)≤α<eq \f(π,2). $$