精品解析：2025年河北省邢台市南宫市中考数学模拟试卷

2025年河北省邢台市南宫市中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列算式中，计算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 正方体表面展开图如图所示，每个面上分别写着“初三中考加油”，如果将这个展开图还原为正方体，其中和“初”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 中 B. 加 C. 考 D. 油 4. 小明一家四口人随机分乘2辆缆车到某景点观光游览，每辆缆车最多乘坐2人，则小明与爸爸同乘一辆缆车的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道“买田”问题，其大致意思是：用一万钱可买好田和 坏田共一百亩，若……问好田和坏田分别买了多少亩？设买好田x 亩，坏田y 亩，可列出符合题意的方程组 根据已有信息，则题中用“……”表示的缺失条件应为 （ ） A. 好田三百亩用一钱，坏田五百亩用七钱 B. 好田七百亩用五百钱，坏田一亩用三百钱 C. 好田五百亩用七钱，坏田三百亩用一钱 D. 好田一亩用三百钱，坏田七亩用五百钱 7. 如图，阴影部分是边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，给出下列三种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 8. 某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 如图，已知正方形的面积为9，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点，且轴，轴，若点D的坐标是，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. －3 10. 光合作用，通常是指绿色植物吸收光能，把二氧化碳和水合成有机物，同时释放氧气的过程，整个过程受光照强度、二氧化碳浓度、温度等多种因素的影响．小明在研究某绿色植物光合作用氧气释放速度（毫克/小时）与光照强度（千勒克斯）之间的关系时，设计了如图1的实验装置，并绘制了和时与之间的关系图 （如图2），下列说法错误的是 （ ） A. 两种温度下均是的函数 B. 当时，该绿色植物不进行光合作用 C. 当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的高 D. 光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越快 11. 如图，在探究活动中，某小组将两张完全重合的正六边形纸片的中心用图钉固定住，保持下方正六边形纸片不动，将上方正六边形纸片绕点顺时针旋转，旋转后上方正六边形纸片的两边与边分别交于点，．该小组得到结论、，下列判断正确的是（ ） 结论：当时，阴影部分是正十二边形； 结论：连接、．在旋转过程中，的度数不变 A. 结论都正确 B. 结论都不正确 C. 只有结论正确 D. 只有结论正确 12. 如图，中，，，，是边上的点（且满足）．将沿折叠，使点落在平面上处，射线与射线交于点． 甲：当时，； 乙：当点落在射线上时，四边形是菱形； 丙：随点位置的变化，线段的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（ ） A. 只有乙对 B. 甲和丙都对 C. 乙对，丙错 D. 三人的说法都对 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 已知，，则______． 14. 按如图程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于33”为一次运算，且运算进行2次才停止．则可输入的实数x的取值范围是________． 15. 在平面直角坐标系中，矩形的边BC在x轴上，O为线段的中点，矩形的顶点，连接，按照下列方法作图： （1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交于点E、F； （2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点； （3）作射线交于H，则线段的长为_______． 16. 如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 数学课上，老师在电脑上设置了一个程序：如果电脑屏幕上输入数对，白板屏幕上就会出现． （1）嘉嘉在电脑屏幕上输入，求输出的多项式； （2）淇淇说“若输入，输出的多项式为0时，n有两个不同的值”，你同意淇淇的说法吗？请说明理由． 18. 阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对”：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如：，所以43和68是“友好数对”． （1）和36______“友好数对”．（填“是”或“不是”） （2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，请找出a，b，c，d之间存在一个等量关系，并说明理由． 19. 为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩成绩用x表示，单位：分，并对数据（成绩）进行统计整理，将数据分为五组：；；；；． 下面给出了部分信息： 组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． 不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下． 请根据以上信息完成下列问题： （1）随机抽取的八年级学生人数为______，扇形统计图中，B组对应扇形的圆心角为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分； （4）该校八年级共1800人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 20. 4月中旬的某一天，小明和小强准备去双阳奢岭葡萄采摘园采摘葡萄，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买门票，采摘的所有葡萄按24元/千克；乙采摘园的优惠方案：游客无需买票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某游客的葡萄采摘量为 x千克，若在甲采摘园所需总费用为 y甲元，若在乙采摘园所需总费用为元，y甲、与x之间的函数图象如图所示． （1）甲采摘园的门票费用是 元； （2）求（元）与采摘葡萄数量x（千克）之间的函数关系式； （3）若在甲、乙采摘园所花相同的钱数采摘相同的数量，需采摘葡萄多少千克？ 21. 【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等． 【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有A，B两棵树（与河岸平行），于是他提出，在不过河的前提下，如何测量河对岸的树A与树B之间的距离呢？ 乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两个点C，D，使与河岸平行，且，经测量，，． 【问题解决】 （1）请根据乙同学的方案，计算出A，B两棵树之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【交流讨论】 （2）丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点C，D，使与河岸平行，且，测量出，，，即可计算出的长度，请帮助丙同学验证他的方案的可行性． 22. 如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 （1）求喷泉的半径； （2）要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数） 23. 许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象——抛物线，在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨的交点。为抛物线的顶点，点在抛物线上，关于轴对称．分米，点到轴的距离是2分米，，两点之间的距离是12分米． （1）求抛物线的函数表达式（不要求写自变量取值范围）； （2）如图③，分别延长交抛物线于点，请直接写出两点间距离的值； （3）如图③，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向左平移分米，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值． 24. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 【初步观察】如图1，矩形和矩形重合，，，矩形保持不动，将矩形绕点A逆时针旋转． （1）如图2，当经过点D时，DF的长为______． 【实践探究】 （2）①如图3，当点E落在对角线上时，连接，的度数为______； 的长为______． ②如图4，当点F落在的延长线上时，延长交于点H，请判断与的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）矩形绕点A逆时针旋转，若直线，交于点P，请直接写出点P到直线的距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省邢台市南宫市中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列算式中，计算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方，有理数的加法，负整数指数幂，分别计算各选项的结果，判断是否为负数． 【详解】A．，是正数，故选项不符合题意； B．，是负数，故选项符合题意； C．，是正数，故选项不符合题意； D．，是正数，故选项不符合题意； 故选：B 2. 一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了与三角板有关的运算以及三角形内角和性质．先得出，再运用三角形内角和进行列式，计算即可作答． 【详解】解：如图所示： 由题意得出， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3. 正方体表面展开图如图所示，每个面上分别写着“初三中考加油”，如果将这个展开图还原为正方体，其中和“初”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 中 B. 加 C. 考 D. 油 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方体展开图，掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题的关键． 利用正方体及其表面展开图的特点解题即可． 【详解】解：由正方体展开图特点可知：“初”与“加”相对， 故选：B． 4. 小明一家四口人随机分乘2辆缆车到某景点观光游览，每辆缆车最多乘坐2人，则小明与爸爸同乘一辆缆车的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，设小明一家四口人为、、、，其中代表小明，代表爸爸，先列出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：设小明一家四口人为、、、，其中代表小明，代表爸爸， 则2辆缆车的分配情况有：，；，；，；，；，；，； 共有6种情况，其中小明与爸爸同乘一辆缆车的情况有种； ∴小明与爸爸同乘一辆缆车的概率为， 故选：B． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 6. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道“买田”问题，其大致意思是：用一万钱可买好田和 坏田共一百亩，若……问好田和坏田分别买了多少亩？设买好田x 亩，坏田y 亩，可列出符合题意的方程组 根据已有信息，则题中用“……”表示的缺失条件应为 （ ） A. 好田三百亩用一钱，坏田五百亩用七钱 B. 好田七百亩用五百钱，坏田一亩用三百钱 C. 好田五百亩用七钱，坏田三百亩用一钱 D. 好田一亩用三百钱，坏田七亩用五百钱 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据选项一一列式判断即可． 【详解】解：．好田三百亩用一钱，坏田五百亩用七钱，可列出方程，故该选项不符合题意； ．好田七百亩用五百钱，坏田一亩用三百钱，可列出方程，故该选项不符合题意； ．好田五百亩用七钱，坏田三百亩用一钱，可列出方程，故该选项不符合题意； ．好田一亩用三百钱，坏田七亩用五百钱，可列出方程，故该选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，阴影部分是边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，给出下列三种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，利用两种不同的方法分别表示出阴影部分的面积，逐一进行判断即可． 【详解】解：对于①，阴影部分的面积：左边表示为，右边表示为 ∴，能够验证平方差公式； 对于②，阴影部分的面积左边表示为：，右边表示为： ∴，能够验证平方差公式； 对于③，阴影部分的面积左边表示为：，右边表示为： ∴，能够验证平方差公式； 故选D． 8. 某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把进行移项，再把二次项系数化1，然后配方，再解出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， 移项得， 整理得， ∴ ∴， ∴ ∴． 观察以及对比，得出错误是从乙同学负责的步骤开始出现的， 故选：B 9. 如图，已知正方形的面积为9，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点，且轴，轴，若点D的坐标是，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. －3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，正方形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．利用正方形的性质求得点B坐标是，根据点D、点B在反比例函数上，列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积等于9， ∴， ∵轴，轴，点D坐标是， ∴点A坐标是，点B坐标是， ∵点D、点B在反比例函数上， ∴， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 10. 光合作用，通常是指绿色植物吸收光能，把二氧化碳和水合成有机物，同时释放氧气的过程，整个过程受光照强度、二氧化碳浓度、温度等多种因素的影响．小明在研究某绿色植物光合作用氧气释放速度（毫克/小时）与光照强度（千勒克斯）之间的关系时，设计了如图1的实验装置，并绘制了和时与之间的关系图 （如图2），下列说法错误的是 （ ） A. 两种温度下均是的函数 B. 当时，该绿色植物不进行光合作用 C. 当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的高 D. 光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越快 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数图象获取相关信息，理解题意，结合函数图象求解是解题关键．根据函数的概念和图象获得的有用信息逐项进行判断即可． 【详解】解：A、根据题意可知是自变量，所以两种温度下均是的函数，故说法正确，该选项不符合题意； B、当时，即没有光照条件，所以该绿色植物不进行光合作用，故说法正确，该选项不符合题意； C、根据图像可知，当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的高，故说法正确，该选项不符合题意； D、根据题意可知，该绿色植物释放氧气的速度还与温度有关，故说法错误，该选项符合题意． 故选：D． 11. 如图，在探究活动中，某小组将两张完全重合的正六边形纸片的中心用图钉固定住，保持下方正六边形纸片不动，将上方正六边形纸片绕点顺时针旋转，旋转后上方正六边形纸片的两边与边分别交于点，．该小组得到结论、，下列判断正确的是（ ） 结论：当时，阴影部分是正十二边形； 结论：连接、．在旋转过程中，的度数不变 A. 结论都正确 B. 结论都不正确 C. 只有结论正确 D. 只有结论正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，当时，由旋转性质可知，由正六边形中可得，证明，则，同理，所以，从而判判断，同上理可得，，故有，从而判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当时， 由旋转性质可知，， 由正六边形可得：， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴阴影部分的边数为，即正十二边形，故正确； 如图， 同上理可得：，， ∴，故正确； 故选：． 12. 如图，中，，，，是边上的点（且满足）．将沿折叠，使点落在平面上处，射线与射线交于点． 甲：当时，； 乙：当点落在射线上时，四边形是菱形； 丙：随点位置的变化，线段的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（ ） A. 只有乙对 B. 甲和丙都对 C. 乙对，丙错 D. 三人的说法都对 【答案】C 【解析】 【分析】甲：如图所示，当时，证明可得结论； 乙：如图所示，当落在上时，点E和重合，证明四边相等即可； 丙：当点P靠近点C时，在四边形外部，此时，推出，即可判断． 【详解】解：甲：如图所示，当时， ， ， 将沿翻折得， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，故甲正确； 乙：如图所示，当落在AD上时，点E和重合， 四边形是平行四边形， ， ， 将沿AP翻折得， ，，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形，故乙正确； 丙：如图所示， 当点P靠近点C时，在四边形外部，此时， ，故丙错误； 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换，解答中涉及轴对称的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，立方根定义，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，先将m、n进行化简，然后再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 14. 按如图程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于33”为一次运算，且运算进行2次才停止．则可输入的实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式组解实际问题，正确理解程序，列出不等式组是解题关键． 根据程序可以列出不等式组，即可确定实数x的取值范围，从而求解． 【详解】解：根据题意得：第一次：， 第二次：， 根据题意得： 解得：． 故答案是：． 15. 在平面直角坐标系中，矩形的边BC在x轴上，O为线段的中点，矩形的顶点，连接，按照下列方法作图： （1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交于点E、F； （2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点； （3）作射线交于H，则线段的长为_______． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】如图，过点H作于点M，由作法可知，为的平分线，，，，由勾股定理得，，由，可得，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，过点H作于点M， 由作法可知，为的平分线， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查作角平分线，角平分线的性质，矩形的性质，勾股定理．熟练掌握角平分线的性质与作图方法、矩形的性质是解答本题的关键． 16. 如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于______． 【答案】6 【解析】 【分析】先求出点的坐标，再根据平移，用表示出，的坐标，然后根据双曲线恰好同时经过点，时，列出方程求解． 【详解】解：设平移了个单位， ∵将线段绕点顺时针旋转至线段，点，点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点， ∵将沿轴正方向平移至， ∴，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当双曲线恰好同时经过点，时，， 解得：，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平移的性质求解，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，根据旋转的性质求解，解题的关键是根据反比例函数图象上的横纵坐标的积为求解． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 数学课上，老师在电脑上设置了一个程序：如果电脑屏幕上输入数对，白板屏幕上就会出现． （1）嘉嘉在电脑屏幕上输入，求输出的多项式； （2）淇淇说“若输入，输出的多项式为0时，n有两个不同的值”，你同意淇淇的说法吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 同意淇淇的说法，理由如下： 若输入，输出的多项式为0， 则， ， 关于n的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即n有两个不同的值． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握题目所给运算式的运算顺序． （1）把代入题目所给运算式进行计算即可； （2）根据题目所给运算式，得出方程，然后利用一元二次方程根的判别式，即可解答． 【小问1详解】 解：嘉嘉在电脑屏幕上输入， 输出的多项式为； 【小问2详解】 略 18. 阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对”：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如：，所以43和68是“友好数对”． （1）和36______“友好数对”．（填“是”或“不是”） （2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，请找出a，b，c，d之间存在一个等量关系，并说明理由． 【答案】（1）是 （2） ；理由： 这两个数分别为、， 交换位置后的两个数分别为、， 可得：， 即， 所以， 即． 【解析】 【分析】本题考查了新定义，对于数的表示、整式的运算，多项式乘多项式等知识点，理解新定义列出整式是解题的关键． （1）根据“友好数对”的定义解答即可； （2）根据题意可得这两个数分别为、，再由交换位置后的两个数分别为、，然后结合“友好数对”的定义，可得，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， 所以21和36是“友好数对”． 故答案为：是． 【小问2详解】 略 19. 为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩成绩用x表示，单位：分，并对数据（成绩）进行统计整理，将数据分为五组：；；；；． 下面给出了部分信息： 组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． 不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下． 请根据以上信息完成下列问题： （1）随机抽取的八年级学生人数为______，扇形统计图中，B组对应扇形的圆心角为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分； （4）该校八年级共1800人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 【答案】（1）60； （2）补全频数分布直方图如图所示． （3）77 （4）780人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图和扇形统计图的关联，看懂统计图，准确获取信息是解答的关键． （1）用A组人数及其所占百分比可求得抽取人数，用乘以B组所占比例可求得圆心角的度数； （2）先求得D组人数，再补全频数分布直方图即可； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）用八年级总人数乘以样本中成绩达到80分及以上的学生所占比例求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，抽取的人数为人， 扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为， 故答案为：60，； 【小问2详解】 解：成绩为D：的人数为（人）， 【小问3详解】 解：将抽取的八年级学生竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第30和31名的成绩为76，78， 抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是（分）， 故答案为：77； 【小问4详解】 解：（人）， 估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数约780人． 20. 4月中旬的某一天，小明和小强准备去双阳奢岭葡萄采摘园采摘葡萄，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买门票，采摘的所有葡萄按24元/千克；乙采摘园的优惠方案：游客无需买票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某游客的葡萄采摘量为 x千克，若在甲采摘园所需总费用为 y甲元，若在乙采摘园所需总费用为元，y甲、与x之间的函数图象如图所示． （1）甲采摘园的门票费用是 元； （2）求（元）与采摘葡萄数量x（千克）之间的函数关系式； （3）若在甲、乙采摘园所花相同的钱数采摘相同的数量，需采摘葡萄多少千克？ 【答案】（1）48 （2） （3）8千克或13千克 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答； （1）根据图象，可得出甲采摘园的门票费用， （2）分和用待定系数法可求得； （3）先求出的解析式，然后分2段，分别令＝即可． 【小问1详解】 解：在甲采摘园的费用函数图象中，当采摘量时，费用的值就是门票费用．从图象可知，当时，元， ∴甲采摘园的门票费用是48元． 故答案为：48； 【小问2详解】 当时： 设， 把代入，得， 解得， ∴． 当时： 设，把和代入，得 解得 ∴ 综上， 【小问3详解】 ∵采摘的所有葡萄按24元/千克，根据题意得 甲采摘园的费用函数为． 分情况讨论： 当时，令， 解得， 当时，令， 解得， ∴甲、乙采摘园所花相同的钱数采摘相同的数量，需采摘葡萄8千克或13千克． 21. 【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等． 【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有A，B两棵树（与河岸平行），于是他提出，在不过河的前提下，如何测量河对岸的树A与树B之间的距离呢？ 乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两个点C，D，使与河岸平行，且，经测量，，． 【问题解决】 （1）请根据乙同学的方案，计算出A，B两棵树之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【交流讨论】 （2）丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点C，D，使与河岸平行，且，测量出，，，即可计算出的长度，请帮助丙同学验证他的方案的可行性． 【答案】（1）； （2）在中，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的应用，涉及等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，理解题意，利用锐角三角函数和相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）过点D作，垂足为，先证明四边形是矩形得到，，再角度计算得到，在中，利用等角对等边求得，在中，利用锐角三角函数求得，进而可求解； （2）在中，利用锐角三角函数得到，再证明，得到，进而可求解． 【详解】解：（1）过点D作，垂足为， ，，， ， 四边形是矩形． ，， ，， ， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， 答：A，B两棵树之间的距离约为； （2）略 22. 如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 （1）求喷泉的半径； （2）要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数） 【答案】（1）5米 （2）25盏 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理，是解题的关键． （1）连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可； （2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接，设喷泉的半径为，则：， ∴， ∵D是弦的中点， ∴平分弦，， ∴， ∴， ∴， 解得：米； 答：喷泉的半径为5米； 【小问2详解】 解：由题意，得：（米）， （盏）； 答：大约需要安装25盏景观灯． 23. 许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象——抛物线，在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨的交点。为抛物线的顶点，点在抛物线上，关于轴对称．分米，点到轴的距离是2分米，，两点之间的距离是12分米． （1）求抛物线的函数表达式（不要求写自变量取值范围）； （2）如图③，分别延长交抛物线于点，请直接写出两点间距离的值； （3）如图③，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向左平移分米，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值． 【答案】（1） （2）24分米 （3）6或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，抛物线与直线的交点，函数图象的平移． （1）根据题意得到点A，C的坐标，设抛物线的解析式为，把点A，C的坐标代入，即可求解； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，解方程组得到点E的坐标，根据对称得到点F的坐标，进而可解答； （3）设平移后的抛物线解析式为，则得到此时抛物线与轴的交点，根据，结合两个三角形的底相同，即可得到，进而即可解答． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为：， 由题意得，抛物线过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点E的坐标为， 根据对称可得点F的坐标为， ∴（分米）， 即两点间的距离为24分米； 【小问3详解】 解：设平移后的抛物线解析式为：， 令，则， 此时抛物线与轴的交点设为， ∵平移前后抛物线和轴交点间的距离不变，又， 则， 即， 解得：或（舍去负值）， ∴m的值为或． 24. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 【初步观察】如图1，矩形和矩形重合，，，矩形保持不动，将矩形绕点A逆时针旋转． （1）如图2，当经过点D时，DF的长为______． 【实践探究】 （2）①如图3，当点E落在对角线上时，连接，的度数为______； 的长为______． ②如图4，当点F落在的延长线上时，延长交于点H，请判断与的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）矩形绕点A逆时针旋转，若直线，交于点P，请直接写出点P到直线的距离的最大值． 【答案】（1）； （2）①，； ②， 理由如下， 四边形，是矩形， ， 当点F落在的延长线上时，，即， 如图所示，连接，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 根据题意可得，，， ， ， ； （3）4． 【解析】 【分析】（1）由矩形得到，，当经过点D时，勾股定理求出，进而求解即可； （2）①证明出，得到，求出，如图所示，连接，勾股定理求出，由相似得到，设，，则，勾股定理求出，进而求解即可； ②如图所示，连接，，，得到，证明出四边形是平行四边形，得到，证明出，得到，即可得到； （3）首先得到，点P在以为直径得圆上运动，如图所示，连接，交于点O，当点P在经过对角线交点O，垂直的直径上时，点P到的距离最大，即的值，然后利用勾股定理求出，求出，进而求解即可． 【详解】（1）四边形，是矩形，且初始位置重合， ，，， 当经过点D时，中，， ， 故答案为：； （2）①， ，即，， ， ， ， ，即， 如图所示，连接， 根据题意，， ， ， 设，，则， 在中，， ， 整理得，， 解得，不符合题意，舍去，， ， ， 故答案为：，； ②略 （3）根据（2）中①可得直线，交于点P，同理可得， 点P在以为直径得圆上运动，如图所示，连接，交于点O， 当点P在经过对角线交点O，垂直的直径上时，点P到的距离最大，即的值， 根据矩形，勾股定理得到，，， ， 在中，点O是中点， ， ， 点P到直线的距离的最大值为． 【点睛】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $