第5章 1.2 利用二分法求方程的近似解-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（北师大版）

该高中数学课件核心内容为“利用二分法求方程的近似解”，以电路板60个焊口检测至多6次的实例导入，从实际问题出发建立函数零点与方程解的联系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于通过生活化情境激发兴趣，结合电动车生产成本降低等实例，用表格清晰展示二分法步骤，培养学生逻辑推理（数学思维）和模型意识（数学语言）。小结系统梳理知识，学生能提升解决实际问题能力，教师可高效开展教学。

1．2　利用二分法求方程的近似解 　　一块电路板的AB两点之间有60个串联的焊接点，已知电路不通的原因是焊口脱落造成的，检测员要想检测出哪处焊口脱落，至多只需要检测6次就可以．你知道他是如何做到的吗？ 1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件． 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解． 3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解． 返回导航 新课导入 学习目标 内 容 索 引 新知学习 探究　 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 返回导航 2．二分法 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，f(a)·f(b)________ ，则每次取区间的________，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 连续 <0 中点 返回导航 [即时练] 1．关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是(　　) A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到 B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点 C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点 D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解 解析：由二分法求解函数零点的过程可知， 选项D正确． D 返回导航 AC 2．(多选)(2026·永州期末)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求其零点的是(　　) 返回导航 解析：由二分法的定义知，若函数f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)f(b)＜0，则可以利用二分法求函数f(x)的零点的近似值，对于选项B，D中函数零点两侧函数值同号，不能用二分法求函数零点，选项A，C中函数零点两侧函数值异号，能用二分法求函数零点． 返回导航 3．用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________． 解析：设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，f(3)＝10>0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，所以方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2). (1，2) 返回导航 感悟提升 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 返回导航 知识点二　二分法求函数零点近似值的步骤 [知识梳理] 返回导航 [例1] (对接教材例4)求方程x3－3 ＝0的一个近似解．(精确度为0.02) 【解】　令f(x)＝x3－3， 经计算， f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0， 所以方程x3－3＝0在区间(1，2)内有解． 取区间(1，2)的中点1.5，f(1.5)＝0.375>0， 所以方程x3－3＝0在区间(1，1.5)内有解． 如此下去，得到方程x3－3＝0的解所在的区间， 返回导航 如表： 次数 左端点 左端点 函数值 右端点 右端点 函数值 区间 长度 第1次 1 －2 2 5 1 第2次 1 －2 1.5 0.375 0.5 第3次 1.25 －1.047 1.5 0.375 0.25 第4次 1.375 －0.400 1.5 0.375 0.125 第5次 1.437 5 －0.030 1.5 0.375 0.062 5 第6次 1.437 5 －0.030 1.468 75 0.168 0.031 25 第7次 1.437 5 －0.030 1.453 125 0.068 4 0.015 625 返回导航 至此，可以看出，区间[1.437 5，1.453 125]的区间长度小于0.02，而方程的解就在这个区间内，因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解，例如，1.45就是方程x3－3＝0精确度为0.02的一个近似解． 返回导航 感悟提升 应用二分法需注意的问题 (1)精确度：要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束． (2)初始区间：初始区间的选定一般在两个整数间，在精确度给定的情况下，不同的初始区间结果是相同的． (3)方程根的选取：当区间长度符合“精确度ε”的要求后正确选取方程的根． 当区间[an，bn]的长度|an－bn|<ε时，这个近似值可以是区间[an，bn]内任意一个数． 简言之：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 返回导航 [跟踪训练1] (1)用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中，令f(x)＝3x＋3x－8，得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为(　　) A.(1，1.25) B．(1.25，1.5) C.(1.5，2) D．不能确定 B 解析：因为f(x)＝3x＋3x－8在(1，2)上单调递增，f(1.25)<0，f(1.5)>0，所以f(1.25)·f(1.5)<0，从而方程的解落在区间(1.25，1.5)内．故选B. 返回导航 (2)根据表中数据，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1，2)上的零点的近似值是_________________．(精确度为0.1) f(1)＝－1 f(2)＝3 f(1.5)＝－0.125 f(1.75)＝1．109 375 f(1.625)＝0．416 015 625 f(1.562 5)＝0．127 197 265 解析：由题表中数据知f(1.5)·f(2)<0，f(1.5)·f(1.562 5)<0，所以函数零点在区间(1.5，1.562 5)上，又因为|1.562 5－1.5|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1，2)上的零点的近似值可以取1.55. 1.55(答案不唯一) 返回导航 应用点　二分法的实际应用 [例2] 随着社会的发展，电动车进入了千家万户，给我们的生活带来了极大的方便．某品牌电动车2021年平均每台电动车的生产成本为1 500元，并以纯利润15%标定出厂价.2022年开始，公司加强管理，降低生产成本.2025年尽管平均每台电动车的出厂价仅是2021年出厂价的75%，但却实现了纯利润40%的高收益．若以2021年的生产成本为基数，用二分法求2022～2025年生产成本平均每年降低的百分数．(精确度为0.01.参考数据：0.554≈0.091 5，0.74＝0.240 1，0.84＝0.409 6，0.854≈0.522 0，0.8754≈0.586 2，0.887 54≈0.620 4，0.94＝0.656 1，0.881 254≈0.603 1) 返回导航 【解】　设2025年平均每台电动车的生产成本为M元，依题意得M(1＋40%)＝1500×(1＋15%)×75%， 解得M≈924，所以2025年平均每台电动车的生产成本约为924元． 设2022～2025年生产成本平均每年降低的百分数为x， 根据题意，得1 500(1－x)4＝924(0<x<1)，令f(x)＝1 500(1－x)4－924，作出x，f(x)的对应值表： x 10% 15% 20% 30% 45% f(x) 60.15 －141 －309.6 －563.85 －786.75 返回导航 则f(0.1)·f(0.15)<0，故函数f(x)在区间(0.1，0.15)内有零点x0. 取区间(0.1，0.15)的中点x1＝0.125，可得f(0.125)≈－44.7. 由f(0.125)·f(0.1)<0，得x0∈(0.1，0.125)，　 取(0.1，0.125)的中点x2＝0.112 5，得f(0.112 5)≈6.6， 返回导航 感悟提升 二分法在实际生活中经常用到．如在平时的线路故障、管道故障等检查中，可以利用二分法较快地得到结果．还可用于实验设计、资料查询等方面．用二分法解决实际问题时应考虑两个问题：一是转化成函数的零点问题；二是逐步缩小考察范围，逼近问题的解． 返回导航 [跟踪训练2] 某电视台有一档娱乐节目，主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手．某物品价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000 元，主持人说：高了．选手紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？ 返回导航 解：取价格区间[500，1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取区间[750，1 000]的中点875；如果主持人说高了，就取另一个区间[500，750]的中点625；若遇到小数，则直接取整数部分，照这种方案，游戏过程猜价如下(示例)：750，875，812，843，859，851，经过6次可以猜中价格． 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 25 B 1．下列关于二分法的叙述中，正确的是(　　) A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位 C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D．只能用二分法求函数的零点 返回导航 解析：对于A项，由二分法求函数零点的近似值需要函数图象在零点附近连续且区间端点处的函数值异号，故A错误； 对于B项，二分法，反复求区间中点，确定函数值符号，故可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位，故B正确； 对于C项，二分法是一种程序化的运算过程，反复求区间中点，确定函数值符号，因而可以通过编程，在计算机上完成，故C错误； 对于D项，求零点的方法有解方程法、作图法等，故D错误．故选B. 返回导航 2．(教材P135T3改编)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表．那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解为(精确度为0.04)(　　) D x 1 1.5 1.25 1.375 1.437 5 1.406 25 f(x) －2 0.625 －0.984 －0.260 0.162 －0.054 A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.437 返回导航 解析：由题中表格可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的近似根在(1，1.5)，(1.25，1.5)，(1.375，1.5)，(1.375，1.437 5)，(1.406 25，1.437 5)内，又因为1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.04，故方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为1.437.故选D. 返回导航 3．(多选)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是(　　) AC 解析：由选项AC中的函数图象可知这两个函数在零点左右的函数值不变号，由选项BD中的函数图象可知这两个函数在零点左右的函数值变号，因此不能用二分法求其零点的是AC.故选AC. 返回导航 4．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01，取端点值为近似解)的近似值，那么应将区间(0，0.1)等分的次数至少为________． 4 返回导航 课堂小结 1．已学习：二分法的定义，二分法求函数零点、方程近似解的步骤． 2．须贯通：利用转化与化归、二分法，求方程的近似解． 3．应注意：二分法并不适用于求所有零点，只能用于求函数的变号零点． 返回导航 因为f(0.112 5)·f(0.125)<0，所以x0∈(0.112 5，0.125)， 同理x0∈(0.112 5，0.118 75)， 又<0.01，所以原方程的近似解可取为0.112 5， 故2022～2025年生产成本平均每年降低11.25%.(答案不唯一) $