第5章 1.2 利用二分法求方程的近似解 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦二分法求函数零点核心知识点，系统梳理零点存在定理（零点两侧函数值异号）、二分法基本步骤（确定区间、取中点、判断符号）及近似解精确度处理，构建从概念理解到实际应用的完整学习支架。 该资料题型多样（含选择、填空、解答及多选），结合表格数据与函数图象分析，通过具体题目（如用表格判断零点区间、图象辅助定位）培养数学眼光，以程序化步骤（如区间逐步缩小）训练数学思维，用精确近似解表达（如强调精确度）提升数学语言能力。课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过解析与练习查漏补缺，强化问题解决能力。

1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　) A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 解析：选C.由题图知函数f(x)的图象连续，由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3左右两侧的函数值符号相同，故不可以用二分法求该零点． 2．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(　　) A．(0，0.5)，f(0.125) B．(0，0.5)，f(0.375) C．(0.5，1)，f(0.75) D．(0，0.5)，f(0.25) 解析：选D.因为f(0)f(0.5)<0，由零点存在定理知零点x0∈(0，0.5)，根据二分法，第二次应计算f，即f(0.25).故选D. 3．用二分法求方程log8x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(2，4) 解析：选B.令f(x)＝log8x－，因为函数y＝log8x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)＝log8x－在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝－<0，f(2)＝log82－＝－＝>0，所以函数f(x)＝log8x－在区间(1，2)内有唯一零点，所以用二分法求方程log8x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2).故选B. 4．给出下列数据 x 1.5 1.532 1.563 1.6 1.663 2x的近似值 2.828 4 2.891 9 2.954 7 3.031 4 3.166 7 则方程2x＝x＋1.4的近似解可以为(　　) A.1.55 B．1.53 C．1.57 D．1.52 解析：选C.令f(x)＝2x－x－1.4，由已知表格中的数据可得， f(1.5)≈2.828 4－1.5－1.4＝－0.071 6<0， f(1.532)≈2.891 9－1.532－1.4＝－0.040 1<0， f(1.563)≈2.954 7－1.563－1.4＝－0.008 3<0， f(1.6)≈3.031 4－1.6－1.4＝0.031 4>0， f(1.663)≈3.166 7－1.663－1.4＝0.103 7>0， 因为f(1.563)·f(1.6)<0， 所以函数f(x)在(1.563，1.6)内有零点， 所以方程2x＝x＋1.4的近似解在(1.563，1.6)内，只有C选项满足．故选C. 5．(多选)下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的说法中正确的有(　　) A.若x0∈[a，b]，且满足f(x0)＝0，则x0是函数f(x)的一个零点 B.若x0是函数f(x)在区间[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值 C.二分法是一种程序化的计算过程，可以通过编程，在计算机上完成 D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似值 解析：选AC.对于A，若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点，A正确；对于B，对于二次函数y＝x2，在区间[－1，1]上存在零点，但不可以用二分法求零点的近似值，B错误；对于C，通过二分法的定义，反复求区间中点，是一种程序化的计算过程，可在计算机上完成，C正确；对于D，用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，D错误． 6．(多选)若函数f(x)的零点与g(x)＝ln x＋2x－8的零点之差的绝对值不大于0.5，则(　　) A.f(x)＝3x－6 B．f(x)＝(2x－7)2 C.f(x)＝ex-1－1 D．f(x)＝ln 解析：选BD.因为函数g(x)在区间(0，＋∞)上的图象是一条连续不断的曲线，且易知g(x)单调递增，g(3)·g(4)<0，所以g(x)的零点位于区间(3，4)内，而选项A中函数的零点为x＝2，选项B中函数的零点为x＝，选项C中函数的零点为x＝1，选项D中函数的零点为x＝，所以满足与g(x)的零点之差的绝对值不大于0.5的函数为f(x)＝(2x－7)2与f(x)＝ln .故选BD. 7．用“二分法”求方程x3＋x－3＝0在区间(0，2)内的实根，首先取区间中点x＝1进行判断，那么下一个取的点是x＝________． 解析：设函数f(x)＝x3＋x－3，易得函数为增函数，因为f(0)＝－3，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，所以下一个有根区间是(1，2)，那么下一个取的点是x＝1.5. 答案：1.5 8．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0) ≈0.200 f(1.587 5) ≈0.133 f(1.575 0) ≈0.067 f(1.562 5) ≈0.003 f(1.556 25) ≈－0.029 f(1.550 0) ≈－0.060 根据上述数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值为________．(精确度为0.01) 解析：由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 25)≈－0.029<0，即f(1.562 5)·f(1.556 25)<0，且|1.562 5－1.556 25|＝0.006 25＜0.01，所以f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.56. 答案：1.56(答案不唯一) 9．若函数f(x)＝(a＋2)x2＋2ax＋1有零点，但不能用二分法求其零点，则实数a的值为________． 解析：由题意可知函数f(x)图象在x轴上方或下方(包括x轴)，且与x轴有交点，当a＋2＝0，即a＝－2时，f(x)＝－4x＋1，能用二分法求零点，不符合题意；当a＋2≠0，即a≠－2时，此时f(x)＝(a＋2)x2＋2ax＋1为二次函数，而f(x)有零点，但不能用二分法求其零点，可知函数f(x)的图象与x轴有1个交点，即(a＋2)x2＋2ax＋1＝0有两个相等的实根，所以Δ＝4a2－4(a＋2)＝0，解得a＝2或a＝－1. 答案：2或－1 10．(13分)已知函数f(x)＝ax3＋2ax＋3a－4在区间(－1，1)上有一个零点． (1)求实数a的取值范围；(6分) (2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1，1)上的解．(7分) 解：(1)若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符； 若a≠0，则易得f(x)在(－1，1)上是一条单调连续的曲线，因为f(x)在区间(－1，1)上有一个零点，所以f(－1)·f(1)＝－4(6a－4)<0，解得a>， 故实数a的取值范围为. (2)若a＝，则f(x)＝x3＋x－， 所以f(－1)＝－4<0，f(0)＝－<0， f(1)＝>0， 所以函数f(x)的零点在区间(0，1)内， 又f＝0，且f(x)在区间(－1，1)上单调递增，所以方程f(x)＝0在区间(－1，1)上的解为x＝. 11．某同学用二分法求方程ln x＋2x－6＝0的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在(2，3)之间，他用二分法操作了7次得到了方程 ln x＋2x－6＝0的一个近似解，那么该近似解满足的最小精确度应该为(　　) A． B． C． D． 解析：选D.根据题意，该同学已经知道该方程的一个零点在(2，3)之间，区间的长度为1，每使用一次二分法可以使区间的长度变为原来的，则该同学第7次使用二分法时，确定区间的长度为＝，所以最小精确度应为.故选D. 12．若在用二分法求函数y＝ex－(x>0)零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，，，则实数a和b分别为(　　) A．， B．， C．， D．， 解析：选B.因为函数y＝ex－＝ex－2－在(0，＋∞)上单调递增，所以函数y＝ex－在区间(0，＋∞)上至多有一个零点．因为b－<b，所以根据二分法的定义可知 所以 解得 13．(多选)(2026·广东月考)用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解时，设函数f(x)＝2x＋3x－7，通过计算列出了它的对应值表： x 1.25 1.375 1.406 25 1.421 875 1.437 5 1.5 f(x) －0.87 －0.28 h －0.06 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是(　　) A．h＞0 B．方程2x＋3x－7＝0有实数解 C．若精确度为0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.02，则近似解可取为1.437 5 解析：选BCD.因为y＝2x与y＝3x－7都是R上的增函数， 所以f(x)＝2x＋3x－7是R上的增函数， 所以f(x)在R上至多有一个零点， 由题表中的数据可知f(1.421 875)＜0，f(1.437 5)＞0，　 所以f(x)在R上有唯一零点，方程2x＋3x－7＝0有实数解，B正确；零点所在的区间为(1.421 875，1.437 5)， 所以h＜0，A错误； f(1.375)≈－0.28＜0，f(1.437 5)≈0.02＞0，|1.437 5－1.375|＝0.062 5＜0.1，即若精确度为0.1，则近似解可取为1.375，C正确；f(1.421 875)≈－0.06＜0，f(1.437 5)≈0.02＞0，|1.437 5－1.421 875|＝0.015 625＜0.02，则近似解可取为1.437 5，D正确．故选BCD. 14．(13分)求方程lg x＝()x－1的一个近似解．(精确度为 0.1) 解：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg x和y＝()x－1的图象，如图所示． 由图可知，方程lg x＝()x－1有唯一实数解，且在区间(0，1)内． 设f(x)＝lg x－()x＋1， 则f(1)＝>0，用计算器计算，如表所示： 取值区间 中点值 中点函数 近似值 区间 长度 (0，1) 0.5 －0.008 1 1 (0.5，1) 0.75 0.280 5 0.5 (0.5，0.75) 0.625 0.147 5 0.25 (0.5，0.625) 0.562 5 0.073 0 0.125 因为|0.5－0.562 5|＝0.062 5<0.1，所以在区间[0.5，0.562 5]内的任意一个数都可作为精确度为 0.1 的零点近似值．因此函数f(x)的一个零点近似值为 0.56，即方程lg x＝()x－1的一个近似解为 0.56(答案不唯一). 15．(15分)已知函数f(x)＝ax＋(a>1). (1)求证：f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；(7分) (2)若a＝3，求方程f(x)＝0的正根．(精确度为0.01)(8分) 解：(1)证明：设－1<x1<x2， 所以f(x1)－f(x2)＝ax1－ax2＋－＝ax1－ax2＋， 因为－1<x1<x2， 所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0， 所以<0； 因为－1<x1<x2，且a>1，所以ax1<ax2，所以ax1－ax2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知，当a＝3时，f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上单调递增， 故在(0，＋∞)上也单调递增，因此f(x)＝0的正根仅有一个， 以下用二分法求这一正根， 由于f(0)＝－1<0，f(1)＝>0， 所以取(0，1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表： 区间 中点 中点函数值 (0，1) 0.5 0.732 (0，0.5) 0.25 －0.084 (0.25，0.5) 0.375 0.328 (0.25，0.375) 0.312 5 0.124 (0.25，0.312 5) 0.281 25 0.021 (0.25，0.281 25) 0.265 625 －0.032 (0.265 625， 0．281 25) 0.273 437 5 －0.005 43 由于|0.273 437 5－0.281 25|＝0.007 812 5<0.01，所以原方程的根的近似值可以为0.273 437 5.即f(x)＝0的正根约为0.273 437 5(答案不唯一). 学科网（北京）股份有限公司 $