第1章 3.2 第2课时 基本不等式的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A.　　　　B．4　　　　C.　　　　D．5 答案：C 2．已知x≥，则f(x)＝有(　　) A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 答案：D 3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C. D. 答案：B 4．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　) A．a≥ B．a> C．a< D．a≤ 答案：A 5．(多选)下列四个命题中，是真命题的是(　　) A．∀x∈R，且x≠0，x＋≥2 B．∃x∈R，使得x2＋1≤2x C．若x>0，y>0，则 ≥ D．若x≥，则的最小值为1 解析：BCD　[对于A，∀x∈R，且x≠0，x＋≥2对x<0时，不成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2,2x＝2，x2＋1≤2x成立，正确；对于C，若x>0，y>0，则(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，化为≥，当且仅当x＝y>0时取等号，正确；对于D，y＝＝＝，因为x≥，所以x－2>0.所以≥×2＝1，当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．故y的最小值为1.] 6．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a＋b＋≥2 B.≥ C.≥a＋b D．(a＋b)≥4 解析：ACD　[因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时取等号，故A一定成立．因为a＋b≥2>0，所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以≤不一定成立．故B不成立．因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以＝＝a＋b－≥2－，当且仅当a＝b时取等号，所以≥，所以≥a＋b，故C一定成立．因为(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立．] 7．已知实数m，n满足mn＞0，m＋n＝－1，则＋的最大值为　________　. 解析：∵m·n＞0，m＋n＝－1，∴m＜0，n＜0， ∴＋＝－(m＋n)＝－≤－2－2 ＝－4，当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4. 答案：－4 8．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为　________　元． 解析：设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m. 那么y＝120·4＋2·80· ＝480＋320＝480＋320 ≥480＋320·2 ＝1 760(元)． 当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元． 答案：1 760 9．若不等式ax2－6x＋3＞0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　__________　，a＋的最小值为　__________　. 解析：当a＝0时，不等式－6x＋3＞0对x∈R不恒成立，不符合题意(舍去)；当a≠0时，要使得ax2－6x＋3＞0对x∈R恒成立，则满足， 解得a＞3，所以实数a的取值范围为(3，＋∞)．因为a＞3，可得a－3＞0，所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝7，当且仅当a＝4时，等号成立，所以a＋的最小值为7. 答案：(3，＋∞)　7 10．某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入x(x∈N＋)台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为k)，若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7 800元． (1)记全年所付运费和保管费之和为y元，求y关于x的函数． (2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最小，则每批应购入电脑多少台？ 解：(1)由题意，得y＝×300＋k×3 000x. 当x＝20时，y＝7 800，解得k＝0.04. 所以y＝×300＋0.04×3 000x ＝×300＋120x(x∈N＋)． (2)由(1)，得y＝×300＋120x≥2＝2×3 600＝7 200. 当且仅当＝120x，即x＝30时，等号成立． 所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑30台． 11．(1)已知0＜x＜，求y＝2x－5x2的最大值； (2)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1， 求＋的最小值． 解：(1)y＝2x－5x2＝x(2－5x) ＝·5x·(2－5x)． ∵0＜x＜，∴5x＜2,2－5x＞0， ∴5x(2－5x)≤2＝1， ∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，ymax＝. (2)∵x＞0，y＞0，且x＋y＝1， ∴＋＝(x＋y)＝10＋＋≥ 10＋2＝18， 当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立， ∴＋的最小值是18. 12．已知：x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，求使＋＞a恒成立的参数a的范围． 解：∵x＞0，y＞0，且x＋2y＝1， ∴＋＝＋＝1＋2＋＋≥ 3＋2＝3＋2. 当且仅当＝，且x＋2y＝1， 即x＝－1，y＝1－时，等号成立． ∴＋的最小值为3＋2，故要使＋＞a恒成立，只需a＜3＋2即可． 即a的取值范围为(－∞，3＋2)． 13．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元， 依题意得当0＜x＜80时，L(x)＝1 000x×0.05－－250＝－x2＋40x－250； 当x≥80时， L(x)＝1 000x×0.05－－250＝1 200－. ∴L(x)＝ (2)当0＜x＜80时，L(x)＝－(x－60)2＋950. 对称轴为x＝60，即当x＝60时，L(x)max＝950万元； 当x≥80时，L(x)＝1 200－≤1 200－2＝1 000(万元)， 当且仅当x＝100时，L(x)max＝1 000万元， 综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大． 14．(多选)北京时间2023年2月3日凌晨，瑞典哥德堡田径室内赛展开多个项目角逐，在男子60米比赛中，“中国飞人”苏炳添以6秒59夺冠，取得新赛季开门红．本站赛事是苏炳添的个人新赛季首秀，33岁的他是19名参赛者中年龄最大的选手，与他同场竞技的还有2006年出生的选手，这极大地激励了学生对百米赛跑的热爱．甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间(单位：秒)分别为T1、T2、T3.甲有一半的时间以速度V1(单位：米/秒)奔跑，另一半的时间以速度V2(单位：米/秒)奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度V1奔跑，另一半的路程以速度V2奔跑．其中V1＞0，V2＞0.则下列结论中一定成立的是(　　) A．T1≤T2≤T3　　 B．T1≥T2≥T3 C．T1T3＝T D.＋＝ 解析：AC　[对于甲，因为甲有一半的时间以速度V1(单位：米/秒)奔跑，另一半的时间以速度V2(单位：米/秒)奔跑， 则T1V1＋T1V2＝100，所以T1＝. 对于乙，全程以速度奔跑，则T2＝， 对于丙，丙有一半的路程以速度V1奔跑，另一半的路程以速度V2奔跑，则T3＝＋＝. 由基本不等式可得≥，≤＝，所以≥≥＞0，当且仅当V1＝V2时等号全部成立，故T1≤T2≤T3，故A选项正确，B选项错误；T1T3＝×＝＝T，故C选项正确；＋＝＋≥≠＝，当且仅当V1＝V2时等号成立，故D选项错误．] 学科网（北京）股份有限公司 $$