第1章 3.2 第2课时 基本不等式的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则＋的最小值是(　　)

A.　　　　B．4　　　　C.　　　　D．5

答案：C

2．已知x≥，则f(x)＝有(　　)

A．最大值  B．最小值

C．最大值1  D．最小值1

答案：D

3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)

A．3  B．4  C.  D.

答案：B

4．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　)

A．a≥  B．a>

C．a<  D．a≤

答案：A

5．(多选)下列四个命题中，是真命题的是(　　)

A．∀x∈R，且x≠0，x＋≥2

B．∃x∈R，使得x2＋1≤2x

C．若x>0，y>0，则 ≥

D．若x≥，则的最小值为1

解析：BCD　[对于A，∀x∈R，且x≠0，x＋≥2对x<0时，不成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2,2x＝2，x2＋1≤2x成立，正确；对于C，若x>0，y>0，则(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，化为≥，当且仅当x＝y>0时取等号，正确；对于D，y＝＝

＝，因为x≥，所以x－2>0.所以≥×2＝1，当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．故y的最小值为1.]

6．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)

A．a＋b＋≥2

B.≥

C.≥a＋b

D．(a＋b)≥4

解析：ACD　[因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时取等号，故A一定成立．因为a＋b≥2>0，所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以≤不一定成立．故B不成立．因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以＝＝a＋b－≥2－，当且仅当a＝b时取等号，所以≥，所以≥a＋b，故C一定成立．因为(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立．]

7．已知实数m，n满足mn＞0，m＋n＝－1，则＋的最大值为　________　.

解析：∵m·n＞0，m＋n＝－1，∴m＜0，n＜0，

∴＋＝－(m＋n)＝－≤－2－2 ＝－4，当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.

答案：－4

8．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为　________　元．

解析：设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一

边长为 m.

那么y＝120·4＋2·80·

＝480＋320＝480＋320

≥480＋320·2 ＝1 760(元)．

当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．

答案：1 760

9．若不等式ax2－6x＋3＞0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　__________　，a＋的最小值为　__________　.

解析：当a＝0时，不等式－6x＋3＞0对x∈R不恒成立，不符合题意(舍去)；当a≠0时，要使得ax2－6x＋3＞0对x∈R恒成立，则满足，

解得a＞3，所以实数a的取值范围为(3，＋∞)．因为a＞3，可得a－3＞0，所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝7，当且仅当a＝4时，等号成立，所以a＋的最小值为7.

答案：(3，＋∞)　7

10．某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入x(x∈N＋)台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为k)，若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7 800元．

(1)记全年所付运费和保管费之和为y元，求y关于x的函数．

(2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最小，则每批应购入电脑多少台？

解：(1)由题意，得y＝×300＋k×3 000x.

当x＝20时，y＝7 800，解得k＝0.04.

所以y＝×300＋0.04×3 000x

＝×300＋120x(x∈N＋)．

(2)由(1)，得y＝×300＋120x≥2＝2×3 600＝7 200.