第3章 3.2 第2课时 指数函数的图象和性质的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．函数y＝2x(1≤x≤2)的最大值为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D．4 解析：D　[因为函数y＝2x为增函数，所以函数y＝2x(1≤x≤2)的最大值为22＝4.] 2．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　) 答案：A 3．函数f(x)＝2的定义域和值域分别是(　　) A．R，(0，＋∞) B．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)，(0,1)∪(1，＋∞) C．(－∞，3)∪(3，＋∞)，(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)，(0,1)∪(1，＋∞) 答案：C 4．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞成立的x的取值范围为(　　) A．(－∞，－1)　　　　 B．(－1,0) C．(0.1) D．(1，＋∞) 答案：D 5．(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值可能为(　　) A．－2　　B．－1　　C．0　　D．1 解析：BC　[f(x)＝＝＝1－， ∵3x＋1＞1， ∴－2＜－＜0，－1＜1－＜1， 当－1＜f(x)＜0时，[f(x)]＝－1； 当0≤f(x)＜1时，[f(x)]＝0， ∴y＝[f(x)]的可能取值为－1,0.] 6．(多选)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　) A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2) C．f(－2)>f(2) D．f(－4)>f(3) 解析：AD　[由f(2)＝a－2＝4得a＝，即f(x)＝－|x|＝2|x|，故f(－2)>f(－1)，f(－2)＝f(2)，f(－4)＝f(4)>f(3)，所以A、D正确．] 7．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是　________　. 解析：依题意，－1≥0对x∈R恒成立， 即x2＋2ax－a≥0恒成立， ∴Δ＝4a2＋4a≤0，－1≤a≤0. 答案：[－1,0] 8．若函数f(x)的图象与函数y＝2x的图象关于原点对称，则f(x)＝　________　. 解析：设(x，y)是所求函数图象上任一点， 则(－x，－y)是原函数图象上的点，即－y＝2－x， 即f(x)＝－x. 答案：－x 9．已知指数函数f(x)＝(2a－1)x，若f(－3)>f(－2)，则实数a的取值范围是　__________　，若f(－3)<f(－2)，则实数 a的取值范围是　________　. 解析：∵指数函数f(x)＝(2a－1)x， 若f(－3)>f(－2)， ∴函数f(x)单调递减，∴0<2a－1<1， 解得<a<1，同理，若 f(－3)<f(－2)， 则2a－1>1， 解得a>1. 答案：　(1，＋∞) 10．求函数f(x)＝的单调递增区间． 解：由x2－x－1≥0，得x≤或x≥.易知函数t＝在上单调递减，在上单调递增，而函数y＝t在[0，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)的单调递增区间为. 11．已知函数f(x)＝2x－2－x. (1)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由； (2)证明：函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数． 解：(1)f(x)是奇函数．理由如下：函数f(x)的定义域是R.因为f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以函数f(x)＝2x－2－x是奇函数． (2)证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－2－x1－(2x2－2－x2) ＝(2x1－2x2) ， ∵x1＜x2，∴2x1－2x2＜0，又1＋＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0， ∴f(x1)＜f(x2)， ∴函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数． 12．已知函数f(x)＝3x＋k·3－x为奇函数． (1)求实数k的值； (2)若关于x的不等式f(9ax2－2x－1)＋f(1－3ax－2)＜0只有一个整数解，求实数a的取值范围． 解：(1)显然f(x)的定义域为R. ∵f(x)是奇函数， ∴f(x)＋f(－x)＝3x＋k·3－x＋3－x＋k·3x ＝(k＋1)(3x＋3－x)＝0对一切实数x都成立， ∴k＝－1. (2)易知f(x)为R上的单调递增函数， 又f(x)是奇函数， ∴f(9ax2－2x－1)＋f(1－3ax－2)＜0⇒f(9ax2－2x－1)＜f(3ax－2－1)⇒9ax2－2x－1＜3ax－2－1⇒32ax2－4x＜3ax－2⇒2ax2－4x＜ax－2⇒(ax－2)(2x－1)＜0. 当a≤0时，显然不符合题意； 当a＞0时，由不等式只有一个整数解，可知不等式的解集为，且1＜≤2⇒1≤a＜2， ∴实数a的取值范围是[1,2)． 13．定义：对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．若f(x)＝2x＋m是定义在区间[－1,1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围． 解：法一：f(x)＝2x＋m，f(－x)＝－f(x)可化为 2x＋2－x＋2m＝0， 因为f(x)的定义域为[－1,1]， 所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1,1]内有解， 令t＝2x，则t∈，故－2m＝t＋， 设g(t)＝t＋，则在(0,1]上单调递减， 在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t∈时，g(t)∈， 即－2m∈， 所以m∈. 法二：当f(x)＝2x＋m时，f(－x)＝－f(x)可化为2x＋2－x＋2m＝0， 令t＝2x，则t∈，故关于t的二次方程t2＋2mt＋1＝0在上有解即可保证f(x)为“局部奇函数”，设f(t)＝t2＋2mt＋1. ①当方程t2＋2mt＋1＝0在上只有一个解或有两个相同的解时， 需满足或f·f(2)≤0， 解得m＝－1或m＝－， 当m＝－时，方程在区间上有两个解，不符合，故m＝－1. ②当方程t2＋2mt＋1＝0在上有两个不相等实根时， 需满足⇒ 故－≤m<－1， 综上，m∈. 14．定义在D上的函数y＝f(x)，如果满足：存在常数M＞0，对任意x∈D，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界． (1)证明f(x)＝在上是有界函数； (2)设M＞0，N＞0，若函数y＝f(x)、y＝g(x)在D上分别以M、N为上界，判断函数y＝f(x)＋g(x)在D上是否为有界函数，若是，写出y＝f(x)＋g(x)的一个上界； (3)若函数f(x)＝1＋a·x＋x在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围． 解：(1)f(x)＝＝1－ , 则f(x)在上是严格增函数， 故f≤f(x)≤f，即－1≤f(x)≤ ， 故|f(x)|≤1，故f(x)是有界函数． (2)因为函数y＝f(x)，y＝g(x)在D上分别以M，N为上界，所以－M≤f(x)≤M，－N≤g(x)≤N， 所以－(M＋N)≤f(x)＋g(x)≤M＋N， 即|f(x)＋g(x)|≤M＋N， 所以函数f(x)＋g(x)在D上以N＋M为上界． (3)因为f(x)＝1＋a·x＋x在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数， 所以－3≤1＋a·x＋x≤3在[0，＋∞)上恒成立， 记x＝t，t∈(0,1]， 所以－3≤1＋a·t＋t2≤3在t∈(0,1]时恒成立， 所以在t∈(0,1]时恒成立， 函数y＝－t在t∈(0,1]上单调递减， 所以－t≥1，所以a≤1； 函数y＝－在t∈(0,1]上单调递增， 所以－≤－5，所以a≥－5. 所以实数a的取值范围是[－5,1]． 学科网（北京）股份有限公司 $$