第6章 4.2 分层随机抽样的均值与方差&4.3 百分位数-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

4．2　分层随机抽样的均值与方差 4．3　百分位数 课程标准 素养解读 1.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差 2．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义 通过分层随机抽样的均值与方差及百分位数的含义，提升学生数学运算，数据分析素养 [情境引入] 在电视大奖赛中，计算评委打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分？ 提示：为了避免平均值受数据中个别极端值的影响，增大它的估计总体时的可靠性． [知识梳理] [知识点一]　分层随机抽样的均值与方差　 1．概念 分层随机 抽样的均值 设样本中不同层的平均数和相应权重分别为1，2，…，n和ω1，ω2，…，ωn，则这个样本的平均数为ω11＋ω22＋…＋ωnn＝　　 分层随机 抽样的方差 设样本中不同层的平均数分别为1，2，…，n，方差分别为s，s，…，s，相应的权重分别为ω1，ω2，…，ωn，则这个样本的方差为s2＝　ωi[s＋(i－)2]　，其中为样本平均数 2.应用：求分层随机抽样的均值与方差． [知识点二]　百分位数　 1．总体的p分位数的概念 一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈　(0,1)　，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数　小于或等于　它的可能性是p. 2．四分位数 　25%,50%,75%　分位数是三个常用的百分位数，把总体数据按照　从小到大　排列后，这三个百分位数把总体数据分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是　　，因此这三个百分位数也称为总体的四分位数． 3．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按　从小到大　排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的　平均数　. 1.班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？ 提示：不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比． 2．“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？ 提示：有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分． [预习自测] 1．若用分层随机抽样的方法抽得两组数据的平均数分别为8,12，若这两组数据的平均数是10，则这两组数据的权重比值为(　　) A. B．1 C. D．2 解析：B　[设两组数据的权重分别为ω1，ω2，由ω1×8＋ω2×124＝10，又ω1＋ω2＝1，可解得ω1＝ω2＝，所以这两组数据的权重比值为1.] 2．分层随机抽样中，总体共分为2层， 第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为　________　. 解析：＝×3＋×8＝6. 答案：6 3．若一组数据为3.65,3.68,3.68,3.72,3.73,3.75,3.80,3.80,3.81,3.83，则它们的75%,50%分位数分别为　________　. 解析：∵75%×10＝7.5,50%×10＝5，∴这组数据的75%分位数为3.80,50%分位数为＝3.74. 答案：3.80,3.74 [例1]　甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？ [思路点拨]　由各统计量的定义分别求出甲、乙的数字特征． [解]　由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为＝， 乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为＝， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝×60＋×70＝68(kg)， 甲、乙两队全部队员的体重的方差为 s2＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2＝296. 计算分层随机抽样的方差s2的步骤 (1)确定1，2，s，s； (2)确定； (3)应用公式s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]，计算s2. [变式训练] 1．某苗圃基地有甲、乙两块地种植了同一种树苗，其中甲地种了1 400棵，乙地种了2 600棵．为了了解甲、乙两块地树苗的长势情况，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得甲地树苗高度的均值为262.5，方差为26，乙地树苗高度的均值为280.6，方差为32.03.根据以上信息，计算总样本的均值和方差，并对这个苗圃树苗长势的总体方差作出估计． 解：把甲地样本记为x1，x2，…，x1 400，其平均数记为，方差记为s；把乙地样本记为y1，y2，…，y2 600，其平均数记为，方差记为s；把总样本数据的平均数记为，方差记为s2. 由＝262.5，＝280.6，根据分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为＝·＋ ＝≈274.3. 总样本方差为s2＝{1 400×[26＋(262.5－274.3)2]＋2 600×[32.03＋(280.6－274.3)2]}≈104.5. 我们可以计算出总样本的方差为104.5，并据此估计这个苗圃树苗长势的总体方差为104.5. 百分位数的计算 [例2]　从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下： 7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8，8.3，8.0. (1)分别求出这组数据的第25,50,95百分位数； (2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量； (3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准． [思路点拨]　直观来说，一组数的第p百分位数指的是将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p%位置的数． [解]　(1)将所有数据从小到大排列，得 7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9，9.0，9.9， 因为共有12个数据， 所以12×25%＝3,12×50%＝6,12×95%＝11.4， 则第25百分位数是＝8.15， 第50百分位数是＝8.5， 第95百分位数是第12个数据为9.9. (2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9. 即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9. (3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g，第50百分位数为8.5 g，第95百分位数是9.9 g，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于或等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品． 计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤： (1)排列：按照从小到大排列原始数据； (2)算i：计算i＝n×p%； (3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． [变式训练] 2．(多选)某人记录了自己一周内每天的运动时长(单位：分钟)：54,58,46,62,80,50，x.若这组数据的第40百分位数与第20百分位数的差为3，则x的值可能为(　　) A．47 B．45 C．53 D．60 解析：AC　[将已知的6个数按照从小到大的顺序排列为46,50,54,58,62,80.又7×20%＝1.4，7×40%＝2.8，若x≤46，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是46和50,50－46≠3；若x≥54，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是50和54,54－50≠3.所以46＜x＜54，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是x和50，或50和x，则|50－x|＝3，解得x＝47或53.] 百分位数的综合应用 [例3]　某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费． (1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式； (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值； (3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数． [思路点拨]　频率分布直方图中第p百分位数的求解方法可以模仿中位数的求解思路： (1)确定第p百分位数所在的区间[a，b)． (2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为a＋×(b－a)． [解]　(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x； 当200<x≤400时， y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60； 当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140. 所以y与x之间的函数解析式为 y＝ (2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量低于400千瓦时的占80%， 结合频率分布直方图可知 解得a＝0.001 5，b＝0.002 0. (3)设75%分位数为m， 因为用电量低于300千瓦时的所占比例为 (0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%， 用电量低于400千瓦时的占80%， 所以75%分位数m在[300,400)内， 所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75， 解得m＝375(千瓦时)，即用电量的75%分位数为375千瓦时． 由频率分布直方图求百分位数的方法 (1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率． (2)一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可． [变式训练] 3．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人． (1)求x； (2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)； (3)以下是参赛的10人的成绩：90,96,97,95,92,92,98,88,96,99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想． 解：(1)第一组频率为0.01×5＝0.05， 所以x＝＝100. (2)由图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30,35)内，由30＋5×＝≈32，所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32. (3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列： 88,90,92,92,95,96,96.97,98,99， 计算10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为＝91，这10人成绩的平均数为 (88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3. 评价：从第20百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高． 感想：略(结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可)． 1．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如表： 班级 人数 平均数 方差 甲 20 甲 2 乙 30 乙 3 其中甲＝乙，则两个班级数学成绩的方差为(　　) A．3 B．2 C．2.6 D．2.5 解析：C　[由题意得，可知两个班的数学成绩平均数＝甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为s2＝[2＋(甲－)2]＋[3＋(乙－)2]＝×2＋×3＝2.6.] 2．某病患者8人的潜伏期(天)分别为2,3,3,4,7,8,10,18，则它们的50%分位数是(　　) A．4或7 B．4 C．7 D．5.5 解析：D　[50%分位数即中位数，为×(4＋7)＝5.5.] 3．数据8,12,15,18,21,23,23,24,28,33,35,37的80%分位数是　________　. 解析：这组数据有12个数，因为12×80%＝9.6， 所以这组数据的80%分位数是33. 答案：33 4．已知某省二、三、四线城市的数量之比为1∶3∶6，调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/m2，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/m2，1.8万元/m2,0.8 万元/m2，三、四线城市房价的方差分别为10,8，则二线城市的房价的方差为　________　. 解析：设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知20＝[s2＋(2.4－1.2)2]＋[10＋(1.2－1.8)2]＋[8＋(0.8－1.2)2]，解得s2＝118.52. 答案：118.52 5．某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长(单位：分钟)．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：(0,100]，(100,200]，(200,300]，(300,400]，(400,500]，(500,600]，并整理得到如下频率分布直方图(顾客的停车时长均不超过600分钟)． (1)求a； (2)若某天该商场到访顾客的车辆数为500，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间(300,500]内的车辆数； (3)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议(数据取整数)． 解：(1)根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，可列等式为(0.000 2＋0.001 3＋0.001 6＋0.003 2＋0.003 4＋a)×100＝1，所以a＝0.000 3. (2)样本中停车时长在区间(300,500]内的频率为(0.001 6＋0.000 3)×100＝0.19，所以估计该天停车时长在区间(300,500]内的车辆数是500×0.19＝95. (3)设免费停车时长不超过y分钟， 又因为(0,100]的频率为0.13＜30%， 并且(0,200]的频率为0.45＞30%， 所以y位于(100,200]之间， 则0.13＋(y－100)×0.003 2＝0.3， 所以y≈153， 所以确定免费停车时长为153分钟． 学科网（北京）股份有限公司 $$