6.4.2 分层随机抽样的均值和方差 课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦分层随机抽样的平均数与方差，通过实际问题（如收入计算、成绩统计）导入，衔接简单随机抽样的均值知识，以权重概念为支架，逐步推导公式并结合例题构建从基础到应用的知识脉络。 其亮点是推导过程直观（如从合并样本推导平均数公式），例题贴近现实（学生身高、班级成绩等），通过数学思维的推理能力和数学眼光的应用意识，帮助学生理解公式本质。学生能提升解题逻辑，教师可借助系统案例高效教学。

北师大版（2019）高中数学必修第一册 现在你以母校而自豪， 将来母校因你更光荣！ 第6章 统计 §6.4.2用样本估计总体数字特征 -分层随机抽样的均值和方差 1 分层随机抽样的平均数： 一般地，设样本中不同层的平均数和相应权重分别为,和， 则这个样本的平均数为， 为了简化表示，引进求和符号，记作 平均数公式推导过程： 已知样本的平均数为，样本的平均数为， 若样本和合并成一个新样本， 则这个新样本的平均数为 ， 记 则新样本的平均数为，其中、称为权重. 分层随机抽样的方差 分层随机抽样的方差： 设样本中不同层的平均数和方差和相应权重分别为 ,和和， 则这个样本的方差为，其中为样本的平均数. 分层随机抽样的平均数 w1,w2∈[0,1] 分层随机抽样的方差计算： 设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，， 两层的平均数分别为，，方差分别为，， 则这个样本的方差为：. 【例3】一组样本数据分为甲、乙两组,用分层随机抽样的方法从甲组中抽取6个数,其平均数为10,方差为50;从乙组中抽取4个数,其平均数为15,方差为55,则估计这个样本的平均数为　　　　　,方差为　　　　　.  【例4】甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么甲、乙两班全部90名同学的平均成绩和方差分别是多少？ 解 设甲班50名同学的成绩分别为a1,a2,⋯,a50，那么甲班的平均成绩、权重和方差分别是 设乙班40名同学的成绩分别为b1,b2,⋯,b40，那么乙班的平均成绩、权重和方差分别是 【例5】甲、乙班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么甲、乙两班全部90名同学的平均成绩和方差分别是多少？ 如果不知道a1,a2,⋯,a50和b1,b2,⋯,b40，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及权重，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为 方差： 【例6】为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男员工，30名女员工，且男员工的平均体重为70 kg，标准差为4，女员工的平均体重为50 kg，标准差为6，则所抽取样本的方差为________. 124 【例7】甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？ 【例8】在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表： C 【例9】在对树人中学高一学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人, 其平均数和方差分别为160.6和38.62 ,由这些数据计算出总样本方差，并对高一年级全体学生身高的方差作出估计. ∴总样本的方差为51.4682，估计高一年级全体学生的身高的方差为51.4862. 【例9】在对树人中学高一学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人, 其平均数和方差分别为160.6和38.62 ,由这些数据计算出总样本方差，并对高一年级全体学生身高的方差作出估计. 【例10】甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差 分别是多少？ ∴全体学生的平均成绩为115分. ＝85＋180＝265. 【例11】某培训机构在假期招收了A，B两个数学补习班，A班10人，B班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平均成绩为130分，方差为115，B班的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差. 【例12】某培训机构在假期招收了A，B两个数学补习班，A班10人，B班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平均成绩为130分，方差为115，B班的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差. ＝85＋180＝265. 【例13】某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差. 解　由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为 分层随机抽样的总样本平均数、总体平均数 【例14】调查高一级712名(男326/女386)同学的平均身高，抽50名同学作为样本 (法一) (法二) 【例15】.在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62. 你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差做出估计吗？ 代入数据得总样本方差为51.4862 总样本的平均数： 【例16】已知某省二、三、四线城市数量之比为1：3：6，2020年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.7万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价的方差为_____. 117.98 分层随机抽样的方差和标准差 【例17】甲、乙两只田径队的体检结果为：甲队的体重的平均数为60kg，方差为200，乙对体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1 : 4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？ 分层随机抽样的平均数： 一般地，设样本中不同层的平均数和相应权重分别为,和， 则这个样本的平均数为， 为了简化表示，引进求和符号，记作 分层随机抽样的方差和标准差 分层随机抽样的方差计算： 设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，， 两层的平均数分别为，，方差分别为，， 则这个样本的方差为：. 下课 感谢各位同学配合！ 本课结束 谢谢！再见 和你们合作真是太愉快了！ 【解析】由 eq \x\to(x)＝wAxA＋wBxB可得2.4＝wA×2.3＋(1－wA)×2.8，解得wA＝ eq \f(4,5). 【例2】利用分层随机抽样抽得A，B两组数据，其平均数分别是xA＝2.3，xB＝2.8，这两组数据的平均数 eq \x\to(x)＝2.4，则A组数据在两组数据中的权重wA＝________． 【解析】选D.由题意可知 eq \x\to(x)＝ eq \f(20,100)×5＋ eq \f(80,100)×8＝7.4(万元). 【例1】某单位共有员工100人,其中年轻人有20人,平均年薪为5万元,中年人有80人,平均年薪为8万元,则该单位员工的平均年薪为(　) A.5万元 B.8万元 C.6.5万元 D.7.4万元 设样本中不同层的平均数和相应权重分别为,…, 和w1,w2,…,wn,则这个样本的平均数为w1+w2+…+wn. 为了简化表示,引进求和符号,记作w1+w2+…+wnwi. 设样本中不同层的平均数分别为,…,,方差分别为,…,, 相应的权重分别为w1,w2,…,wn, 则这个样本的方差为s2=wi[+()2],其中为这个样本的平均数. 解　由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝＝， 乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝＝， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝w甲甲＋w乙乙＝×60＋×70＝68(kg)， 甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2] ＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296. 解析 样本的平均数eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(20×70＋30×50,20＋30)＝58,故样本的方差s2＝eq \f(20,20＋30)[42＋(70－58)2]＋eq \f(30,20＋30)[62＋(50－58)2]＝124. 解析　由题意可知两个班的数学成绩平均数为eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \o(x,\s\up6(－))乙，则两个班数学成绩的方差为 s2＝eq \f(20,20＋30)[2＋(eq \o(x,\s\up6(－))甲－eq \o(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(30,20＋30)[3＋(eq \o(x,\s\up6(－))乙－eq \o(x,\s\up6(－)))2]＝eq \f(20,20＋30)×2＋eq \f(30,20＋30)×3＝2.6. 班级 人数 平均分数 方差 甲 20 eq \o(x,\s\up6(－))甲 2 乙 30 eq \o(x,\s\up6(－))乙 3 其中eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \o(x,\s\up6(－))乙，则两个班数学成绩的方差为(　　) A.3 B.2 C.2.6 D.2.5 则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝w甲甲＋w乙乙＝×60＋×70＝68(kg)， 甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2] ＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296. 解　由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝＝， 乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝＝， ∴＝×130＋×110＝115， 全体学生成绩的方差为s2＝wA[s＋(A－)2]＋wB[s＋(B－)2] ＝×(115＋225)＋×(215＋25) 解　依题意A＝130，s＝115， B＝110，s＝215， ∴＝×130＋×110＝115， 全体学生成绩的方差为s2＝wA[s＋(A－)2]＋wB[s＋(B－)2] ＝×(115＋225)＋×(215＋25) 解　依题意A＝130，s＝115， B＝110，s＝215， seq \o\al(2,高)＝eq \f(1,10)[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73， 所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(50,50＋10)×38＋eq \f(10,50＋10)×45≈39.2(岁)， 该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是 s2＝[2＋(38－39.2)2]＋[73＋(45－39.2)2]＝20.64. eq \o(x,\s\up6(－))高＝eq \f(3×58＋5×40＋2×38,3＋5＋2)＝45(岁)， 年龄的方差为 $