第2章 4.1 第2课时 函数奇偶性的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

第2课时　函数奇偶性的应用 课程标准 素养解读 1.掌握函数奇偶性的简单应用 2．了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件 1.通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升逻辑推理素养 2．通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和数学抽象素养 [情境引入] 1．图(1)和图(2)分别是偶函数和奇函数的一部分图象，你能结合奇偶函数图象的特征画出相应图象的另一部分吗？ 提示：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称． 2．就图(1)而言，函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上的单调性是否相同？就图(2)而言，函数在区间与上的单调性是否相同？ 提示：(1)单调性相反，(2)单调性相同． [知识梳理] [知识点]　函数的性质　 1．函数的奇偶性与单调性的性质 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为　增函数　(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性　相同　. (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为　减函数　(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性　相反　. 2．奇偶函数的运算性质 　在公共定义域内： (1)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； (2)两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； (3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． 3．函数的对称轴与对称中心 (1)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝　T　是f(x)的对称轴． (2)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则　(a，b)　是f(x)的对称中心． 1.若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数吗？ 提示：不是偶函数，因为只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数． 2．函数y＝的图象有对称中心吗？若有，指出对称中心． 提示：y＝＝1＋，对称中心为(1,1)． [预习自测] 1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　) A．y＝x＋1　　　　　 B．y＝－x2 C．y＝ D．y＝x|x| 答案：D 2．已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝(　　) A．2　　　 B．1 C．0　　　D．－2 答案：D 3．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－2)，f(1)，f(－3)从小到大的关系是　________________　. 答案：f(1)＜f(－2)＜f(－3) 根据函数奇偶性求函数解析式 [例1] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋3x－1，求f(x)的解析式． [思路点拨]　思路如图 [解]　∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)． ∵当x＜0时，－x＞0， ∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)－1] ＝－x2＋3x＋1. 又∵奇函数f(x)在原点有意义，∴f(0)＝0. ∴f(x)＝ 根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)转化代入已知区间的解析式． (3)利用函数f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x)． [变式训练] 1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x－＋2. (1)求f(x)在R上的解析式； (2)当x∈[－2，－1]时，求f(x)的值域． 解：(1)∵函数f(x)为奇函数， 则有：当x＜0时，则－x＞0， 故f(x)＝－f(－x)＝－ ＝x－－2； 当x＝0时，则f(0)＝0； 所以f(x)在R上的解析式为f(x)＝ (2)当x∈[－2，－1]时，则f(x)＝x－－2， 对∀x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，则＞， 故－＜－， ∴x1－－2＜x2－－2，即f(x1)＜f(x2)， 故f(x)＝x－－2在[－2，－1]上为增函数， 且f(－2)＝－3，f(－1)＝－1， 则－3≤f(x)≤－1， 所以当x∈[－2，－1]时，f(x)的值域为[－3，－1]． 函数单调性与奇偶性的关系 [例2] (1)已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围． (2)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． [思路点拨]　奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反． [解]　(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0， 得f(1－a2)<－f(1－a)． ∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数， ∴－f(1－a)＝f(a－1)， ∴f(1－a2)<f(a－1)． 又∵f(x)在[－1,1]上单调递减， ∴解得 ∴0≤a<1，∴a的取值范围是[0,1)． (2)∵函数f(x)是偶函数， ∴f(x)＝f(|x|)． ∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)． ∴原不等式等价于解得－1≤m<， ∴实数m的取值范围是. 1．比较大小的求解策略 看自变量是否在同一单调区间上． ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 2．解不等式的策略 解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响． [变式训练] 2．(1)若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有(　　) A．最小值6　　　　　 B．最小值－6 C．最大值－6 D．最大值6 (2)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为(　　) A．f(1)>f(－10) B．f(1)<f(－10) C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定 解析：(1)C　[因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6，所以可设a∈[2,5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.] (2)A　[∵f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)． 又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且1<10， ∴f(1)>f(10)，即f(1)>f(－10)．] 　 奇偶性、单调性的综合应用 [例3]　已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝. (1)确定函数f(x)的解析式； (2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0. [思路点拨]　若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0. [解]　(1)由题意得所以 故f(x)＝. (2)任取－1<x1<x2<1， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 因为－1<x1<x2<1， 所以x1－x2<0,1＋x>0,1＋x>0. 又－1<x1x2<1，所以1－x1x2>0. 所以f(x1)－f(x2)<0， 所以f(x)在(－1,1)上是增函数． (3)f(t－1)<－f(t)＝f(－t)． 因为f(x)在(－1,1)上是增函数， 所以－1<t－1<－t<1，解得0<t<. 所以不等式的解集为. 奇偶性、单调性的综合应用 利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值．解题时，一定要特别注意函数的定义域． [变式训练] 3．已知函数f(x)＝x2＋2ax－1. (1)若f(1)＝2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值； (2)若f(x)为偶函数，求实数a的值； (3)若f(x)在(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意可知，f(1)＝1＋2a－1＝2，即a＝1，此时函数f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2，故当x＝－1时， f(x)min＝－2. (2)若f(x)为偶函数，则对任意x∈R， f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)－1＝f(x)＝x2＋2ax－1，即4ax＝0，故a＝0. (3)因为函数f(x)＝x2＋2ax－1的单调递减区间是(－∞，－a]，而f(x)在(－∞，4]上单调递减，所以4≤－a，即a≤－4，故实数a的取值范围为(－∞，－4]． 1．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 答案：A 2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f(3)<f(2a＋1)，则a的取值范围是(　　) A．a>1　　　　　　　　 B．a<－2 C．a>1或a<－2 D．－1<a<2 答案：C 3．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是(　　) A．f(－π)>f(3)>f(－2) B．f(－π)>f(－2)>f(3) C．f(3)>f(－2)>f(－π) D．f(3)>f(－π)>f(－2) 答案：A 4．函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的表达式为　____________　. 答案：f(x)＝x＋1 5．若定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，求不等式f(x)≥0的解集． 解：若定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，则f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(－x)＝f(x)，因为f(1)＝0，所以f(－1)＝f(1)＝0，综上当x≤－1或x≥1时，f(x)≥0，即f(x)≥0的解集为{x|x≤－1，或x≥1}． 学科网（北京）股份有限公司 $$