第2章 4.1 第1课时 函数奇偶性的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4．1　函数的奇偶性 第1课时　函数奇偶性的概念 课程标准 素养解读 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义 2．能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题 通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，提升直观想象和逻辑推理素养 [情境引入] 在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影…… 1．上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？ 提示：整个图形对称． 2．哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？ 提示：①是轴对称图形，②既是轴对称图形，又是中心对称图形． [知识梳理] [知识点]　奇函数和偶函数　 1．奇函数的定义及图象特征 (1)奇函数的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对任意一个x∈A，都有　－x∈A　，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数． (2)奇函数的图象特征：奇函数的图象关于　原点　对称．反之，图象关于原点对称的函数一定是　奇　函数． 2．偶函数的定义及图象特征 (1)偶函数的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对任意一个x∈A，都有　－x∈A　，且　f(－x)＝f(x)　，则称y＝f(x)为偶函数． (2)偶函数的图象特征：偶函数的图象关于　f(－x)＝f(x)　对称．反之，图象关于y轴对称的函数一定是　偶　函数． 1.如果函数f(x)具有奇偶性，那么函数f(x)的定义域一定关于原点对称吗？ 提示：定义域一定关于原点对称．由函数奇偶性的定义知，若x在定义域内，则－x一定也在定义域内(若－x不在定义域内，则f(－x)无意义)，因此，具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称． 2．若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是多少？ 提示：由于函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，又函数f(x)在x＝0处有意义，于是f(0)＝f(－0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，所以f(0)＝0. [预习自测] 1．下列函数为偶函数的是(　　) A．f(x)＝x4－1 B．f(x)＝x2(－1<x<3) C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ 答案：A 2．函数f(x)＝－x的图象(　　) A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称 答案：C 3．下列图象表示的函数是奇函数的是　________　，是偶函数的是　________　(填序号)． 答案：②④　①③ 判断函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x＋； (2)f(x)＝x2－|x|＋1； (3)f(x)＝. [思路点拨]　根据奇偶性的定义进行判断． [解]　(1)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝(－x)2－|－x|＋1＝x2－|x|＋1＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，显然不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数． 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下： ①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步． ②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)． ③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数； 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数； 若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数． (2)图象法 ①若f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数． ②若f(x)图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数． ③若f(x)图象既关于原点对称，又关于y轴对称，则f(x)既是奇函数，又是偶函数． ④若f(x)的图象既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (3)性质法 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数． ②奇函数的和、差仍为奇函数． ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数． ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． [变式训练] 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝. 解：(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)f(x)的定义域是R， 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． 奇偶函数的图象应用 [例2] 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补出完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的递增区间； (3)根据图象写出使y＝f(x)<0的x的取值范围． [思路点拨]　根据奇偶函数图象的特点补全图形． [解 ]　(1)由题意作出函数图象如图： (2)据图可知，单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞) (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值范围为(－2,0)∪(0,2)． 巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． [变式训练] 2. 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示． (1)画出在区间[－5,0]上的图象． (2)写出使f(x)<0的x的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使f(x)<0的x的取值范围为(－2,0)∪(2,5)． 利用函数的奇偶性求参数 [例3]　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝　____________　，b＝　________　. (2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝　________　. [思路点拨]　依据奇偶函数的定义求解． [解析]　(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝. 又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0. (2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0， 得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0. [答案]　(1)　0　(2)0 利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解． [变式训练] 3．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝　________　. 解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即＝－. 显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a ＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1. 答案：－1 4．已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝　________　. 解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1. 答案：1 1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　) 答案：B 2．(多选)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是偶函数的是(　　) A．y＝f(|x|)　　　 B．y＝f(x2) C．y＝x·f(x) D．y＝f(x)＋x 答案：ABC 3．已知函数f(x)是定义在区间[a－1,3a]上的奇函数，则实数a的值为　________　. 答案： 4．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为　________________　. 答案：(－6，－3)∪(0,3) 5．求证：函数f(x)＝x2＋的图象关于y轴对称． 证明：f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)2＋＝x2＋＝f(x)． ∴函数y＝f(x)为偶函数． 故函数f(x)＝x2＋的图象关于y轴对称. 学科网（北京）股份有限公司 $$