第2章 §3 第2课时 函数的单调性与最大（小）值-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

第2课时　函数的单调性与最大(小)值 课程标准 素养解读 1.理解函数的最大(最小)值及几何意义 2．利用单调性求最值、比较大小、解不等式 在运用函数单调性充要条件过程中，提升数学运算和逻辑推理素养 [情境引入] 观察下列两个函数的图象，回答有关问题： (1)比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？ (2)通过观察图①你能发现什么？ 提示：(1)图①中函数y＝－x2的图象上有一个最高点；图②中函数y＝－x的图象上没有最高点． (2)对任意x∈R，都有f(x)≤f(0)． [知识梳理] [知识点一]　函数的最值　 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)对于所有的x∈D，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M (1)对于所有的x∈D，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的　最大值　 M为函数y＝f(x)的　最小值　 几何 意义 f(x)图象上最高点的　纵坐标　 f(x)图象上最低点的　纵坐标　 　如果函数f(x)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M，那么M一定是函数f(x)的最大值吗？ 提示：不一定．如函数f(x)＝－x2≤1恒成立，但是1不是函数的最大值． [知识点二]　对函数最大(小)值的理解　 (1)注意对“存在”一词的理解．M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素．如f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0. (2)对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M成立，“任意”是说每一个值都满足不等式． (3)两条缺一不可，若只有(1)，M不一定是最大(小)值．如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有　f(x)≤1成立，但1不是其最大值，否则大于零的任意实数都是最大值了，故不能只有(1)．同样，只有(2)时，M也不一定是最大(小)值，最大(小)值的核心就是不等式f(x)≤M(f(x)≥M)，故不能只有(2)． [预习自测] 1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．f(－2)，0　　　　 B．0,2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 答案：C 2．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是(　　) A．－　　B．－1　　C.　　D．3 答案：C 3．函数f(x)＝在[1，b](b＞1)上的最小值是，则b＝　________　. 答案：4 图象法求函数的最值 [例1] 求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值． [思路点拨]　去掉绝对值，转化为分段函数，再作出函数图象，由图象求最值． [解]　y＝|x＋1|－|x－2| ＝ 作出函数的图象，由图可知，y∈[－3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为－3. (1)利用函数图象求最值是求函数最值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单的且图象易作出的函数求最值较常用． (2)分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值． [变式训练] 1．画出函数f(x)＝的图象，并写出函数的单调区间及函数的最小值． 解：f(x)的图象如图所示， f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1. 利用函数单调性求最值 [例2] (1)函数y＝a－x－(x＞0)在x＝m时有最大值为，则a－m的值为(　　) A．4　　B．3　　C．2　　D. (2)利用单调性定义证明函数f(x)＝x＋在[1,2]上的单调性并求其最值． [思路点拨]　(1)函数f(t)＝－t的图象不易作出．可判断其在所给区间上的单调性来求最小值． (2)可考虑利用函数单调性来求函数最值，即先判断函数的单调性，再求最值． (1)[解析]　因为x＞0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝时取“＝”，所以函数y＝a－x－＝a－≤a－2＝，解得a＝3，m＝，所以a－m＝3－＝2. [答案]　C (2)[解]　任取x1，x2∈[1,2]且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－ ＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)， ∵1≤x1＜x2≤2，∴x1－x2＜0,1＜x1x2＜4， ∴x1x2－4＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)＝x＋在[1,2]上是减函数． 从而函数的最大值是f(1)＝1＋4＝5，最小值是 f(2)＝2＋2＝4. (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性． ②利用单调性写出最值． (2)利用单调性求最值的三个常用结论 ①如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． ②如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． ③如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)． [变式训练] 2．已知函数f(x)＝，x∈[1,2]． (1)判断并证明函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)的最大值与最小值． 解：(1)函数f(x)＝在区间[1,2]上是减函数，证明如下： 任取x1，x2∈[1,2]且x1 ＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝＝， 因为x1，x2∈[1,2]且x1＜x2， 所以x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0， 所以＞0， 即f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)＝是[1,2]上的减函数． (2)由(1)知f(x)＝是[1,2]上的减函数， 所以f(x)min＝f(2)＝， f(x)max＝f(1)＝. 　 一元二次函数的最值 [例3]　求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值． [思路点拨]　解答本题可先求出f(x)的对称轴x＝a，然后就a与区间[0,2]的关系进行讨论，分别求出f(x)的最大值和最小值． [解]　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a. ①当a<0时，由图①可知， f(x)min＝f(0)＝－1， f(x)max＝f(2)＝3－4a. ②当0≤a<1时，由图②可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(2)＝3－4a. ③当1≤a≤2时，由图③可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(0)＝－1. ④当a>2时，由图④可知， f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1. (1)求函数在某区间上的最值，一般应先判定函数在该区间上的单调性． (2)求二次函数的最值时，应判断它的开口方向及对称轴与区间的关系．若含有字母，要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论，解题时要注意数形结合．本题是轴动区间定．对于定轴动区间最值问题，同样要就轴与区间的关系进行讨论． (3)二次函数在闭区间上的最值，如二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a＞0)在区间[m，n]上的最值可作如下讨论： 对称轴x＝h与 [m，n]的位置关系 最大值 最小值 h＜m f(n) f(m) h＞n f(m) f(n) m≤h≤n m≤h＜ f(n) f(h) h＝ f(m)或f(n) f(h) ＜h≤n f(m) f(h) [变式训练] 3．求函数f(x)＝x2－2x－1在[0，a]上的最值． 解：f(x)＝(x－1)2－2，对称轴为x＝1. 若0<a≤1，在[0，a]上f(x)为减函数． ∴f(x)max＝f(0)＝－1， f(x)min＝f(a)＝a2－2a－1. 若1<a≤2，f(x)min＝f(1)＝－2， f(0)≥f(a)，∴f(x)max＝f(0)＝－1. 若a>2，f(x)min＝f(1)＝－2， f(a)>f(0)，f(x)max＝f(a)＝a2－2a－1. 综上，当0<a≤1时，f(x)max＝－1， f(x)min＝a2－2a－1； 当1<a≤2时，f(x)max＝－1，f(x)min＝－2； 当a>2时，f(x)max＝a2－2a－1，f(x)min＝－2. 　 实际应用中的最值问题 [例4]　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) [思路点拨] (1)f(x)＝ (2)分段分别求最值． [解]　(1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x， 从而f(x)＝ (2)当0≤x≤400时， f(x)＝－(x－300)2＋25 000， ∴当x＝300时，f(x)max＝25 000. 当x>400时， f(x)＝60 000－100x是减函数， f(x)<60 000－100×400<25 000. ∴当x＝300时，f(x)max＝25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元． 解实际应用问题的5个步骤 (1)审：审清题意，读懂题，找出各量之间的关系． (2)设：从实际问题中抽象出数学模型，恰当设出未知数． (3)列：根据已知条件列出正确的数量关系． (4)解：转化为求函数的最值或解方程或解不等式． (5)答：回归实际，明确答案，得出结论． [变式训练] 4．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？ 解：设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000. 故当x＝70时，ymax＝9 000. 即售价为70元时，利润最大值为9 000元. 1．函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为(　　) A．3,0　　　　　　 B．3,1 C．3，无最小值 D．3，－2 答案：C 2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．[0,2] C．(－∞，－2] D．[1,2] 答案：D 3．函数y＝，x∈[3,4]的最大值为　____　. 答案：1 4. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为　________　 m. 答案：20 5．求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值． 解：任取2≤x1<x2≤5， 则f(x2)－f(x1)＝－ ＝. 因为2≤x1<x2≤5， 所以x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0. 所以f(x2)－f(x1)<0. 即f(x2)<f(x1)． 所以f(x)＝在区间[2,5]上是单调减函数． 所以f(x)max＝f(2)＝＝2， f(x)min＝f(5)＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$